Manipulasi Persamaan Algebra untuk Litar Elektrik

Pembolehubah (Jun 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Manipulasi Persamaan Algebra untuk Litar Elektrik

Matematik Elektronik


soalan 1

Rintangan elektrik konduktor pada sebarang suhu boleh dikira dengan persamaan berikut:

R T = R r + R r αT - R r αT r

Di mana,

R T = Rintangan konduktor pada suhu T

R r = Penentangan konduktor pada suhu rujukan T r

α = Pekali suhu rintangan pada suhu rujukan T r

Sederhana persamaan ini dengan cara pemfaktoran.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R T = R r (1 + α (T - T r ))

Soalan susulan: apabila diplot pada graf dengan suhu (T) sebagai pembolehubah dan rintangan bebas (R T ) sebagai pembolehubah bergantung (iaitu graf dua paksi dengan T pada mendatar dan R pada tegak), adalah menyebabkan plot "nota tersembunyi" linear> Nota:

Hanya latihan dalam algebra di sini!

Soalan 2

Persamaan untuk mendapatkan voltan (A V ) dalam litar opamp tunggal tunggal yang tidak terbalik adalah seperti berikut:

A V = R 1


R 2

+ 1

Di mana,

R 1 adalah perintang umpan balik (menyambung output ke input terbalik)

R 2 adalah perintang yang lain (menyambung input pembalik ke tanah)

Katakan kami ingin mengubah voltan keuntungan dalam litar berikut dari 5 hingga 6.8, tetapi hanya mempunyai kebebasan untuk mengubah rintangan R 2 :

Algebraa memanipulasi persamaan keuntungan untuk menyelesaikan R 2, kemudian tentukan nilai yang diperlukan R 2 dalam litar ini untuk memberikan keuntungan voltan sebanyak 6.8.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R 2 = R 1


A V - 1

Untuk litar yang ditunjukkan, R 2 perlu ditetapkan sama dengan 810.3 Ω.

Nota:

Tidak lebih daripada algebra kecil untuk mendapatkan jawapan untuk soalan ini!

Soalan 3

Persamaan untuk mendapatkan voltan (A V ) dalam litar opamp tunggal-berakhir litar biasa adalah seperti berikut:

A V = R 1


R 2

Di mana,

R 1 adalah perintang umpan balik (menyambung output ke input terbalik)

R 2 adalah perintang yang lain (menyambungkan input penyongsangan ke terminal input isyarat voltan)

Katakan kita ingin mengubah voltan keuntungan dalam litar berikut dari 3.5 hingga 4.9, tetapi hanya mempunyai kebebasan untuk mengubah rintangan R 2 :

Algebraa memanipulasi persamaan keuntungan untuk menyelesaikan R 2, kemudian tentukan nilai yang diperlukan R 2 dalam litar ini untuk memberikan keuntungan voltan sebanyak 4.9.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R 2 = R 1


A V

Untuk litar yang ditunjukkan, R 2 perlu ditetapkan sama dengan 1.571 kΩ.

Nota:

Tidak lebih daripada algebra kecil untuk mendapatkan jawapan untuk soalan ini!

Soalan 4

Persamaan berikut menyelesaikan untuk voltan output pelbagai litar penukar suis (dipunggah), memandangkan kitaran tugas suis D dan voltan input:

V keluar = DV dalam (litar penukar Buck)

V keluar = V dalam


1 - D

(Litar penukar naik)

V keluar = DV in


1 - D

(Penyongsangan atau litar konverter Cuk)

Manipulate setiap persamaan ini untuk menyelesaikan tugas kitaran (D) dari segi voltan masukan (V in ) dan voltan keluaran yang diingini (V keluar ). Ingat bahawa kitaran tugas selalu merupakan kuantiti antara 0 dan 1, termasuk.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

D = V keluar


V dalam

(Litar penukar Buck)

D = 1 -  V dalam


V keluar

  (Litar penukar naik)

D = V keluar


V dalam + V keluar

(Penyongsangan atau litar konverter Cuk)

Nota:

Memandangkan persamaan bagi jenis litar penukar penyelesaian untuk voltan keluaran dari segi voltan masukan dan kitaran tugas D, soalan ini tidak lebih dari satu latihan dalam manipulasi algebraik.

Perhatikan pelajar anda bahawa semua persamaan ini menganggap keadaan beban sifar pada litar penukar. Apabila beban hadir, tentu saja, voltan keluaran tidak akan sama seperti apa yang diramalkan oleh rumusan yang ringkas dan mudah ini. Walaupun litar penukar kuasa DC-DC ini biasanya dirujuk sebagai "pengawal selia, " ia agak mengelirukan untuk berbuat demikian kerana ia secara palsu membayangkan kapasiti untuk pembetulan sendiri voltan keluaran. Hanya apabila disambungkan ke rangkaian kawalan umpan balik adalah mana-mana litar penukar yang mampu mengawal voltan keluaran dengan nilai yang ditetapkan.

Soalan 5

Selesaikan n dalam persamaan berikut:

Persamaan 1: -56 = -14n

Persamaan 2: 54 - n = 10

Persamaan 3: 4 / n = 12

Persamaan 4: 28 = 2 - n

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Persamaan 1: n = 4

Persamaan 2: n = 44

Persamaan 3: n = 0. (333)

Persamaan 4: n = -26

Nota:

Sediakan pelajar anda ke hadapan kelas dan tunjukkan kepada orang lain teknik yang mereka gunakan untuk menyelesaikan nilai dalam setiap persamaan. Ingatkan mereka untuk mendokumentasikan setiap langkah dalam proses itu, supaya tidak ada yang ditebak atau terkejut.

Persamaan 2 hingga 4 memerlukan dua langkah untuk diselesaikan untuk n. Persamaan 1 hanya memerlukan satu langkah, tetapi dua nombor negatif mungkin sedikit membingungkan kepada sesetengahnya.

Soalan 6

Rumusan untuk mengira rintangan rintangan tiga resistor bersambung siri adalah seperti berikut:

R = R 1 + R 2 + R 3

Algebra memanipulasi persamaan ini untuk menyelesaikan salah satu rintangan siri (R 1 ) dari segi dua rintangan siri lain (R 2 dan R 3 ) dan jumlah rintangan (R). Dengan kata lain, tulis formula yang menyelesaikan R1 dari segi semua pembolehubah lain.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R 1 = R - (R 2 + R 3 ) atau R 1 = R - R 2 - R 3

Nota:

Persoalan ini tidak lebih dari amalan algebra yang memanipulasi persamaan. Minta pelajar anda menunjukkan kepada anda bagaimana mereka menyelesaikannya, dan bagaimana kedua-dua jawapan yang diberikan adalah sama.

Soalan 7

Manipulasi persamaan ini untuk menyelesaikan nilai perintang R 1, mengingat nilai R 2 dan R selari :

R selari = R 1 R 2


R 1 + R 2

Kemudian, beri contoh situasi praktikal di mana anda boleh menggunakan persamaan baru ini.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R 1 = R 2 R selari


R 2 - R selari

Saya akan membiarkan anda memikirkan situasi di mana persamaan ini berguna!

Nota:

Soalan ini benar-benar tidak lebih daripada latihan dalam manipulasi algebra.

Soalan 8

Rumusan untuk mengira rintangan total tiga resistor yang berkaitan selari adalah seperti berikut:

R = 1


1


R 1

+ 1


R 2

+ 1


R 3

Algebraa memanipulasi persamaan ini untuk menyelesaikan salah satu resistans selari (R 1 ) dari segi dua rintangan selari yang lain (R 2 dan R 3 ) dan jumlah rintangan (R). Dengan kata lain, tulis formula yang menyelesaikan R1 dari segi semua pembolehubah lain.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R 1 = 1


1


R

- ( 1


R 2

+ 1


R 3

)

atau R 1 =

1


1


R

- 1


R 2

- 1


R 3

Nota:

Persoalan ini tidak lebih dari amalan algebra yang memanipulasi persamaan. Minta pelajar anda menunjukkan kepada anda bagaimana mereka menyelesaikannya, dan bagaimana kedua-dua jawapan yang diberikan adalah sama.

Soalan 9

Pelesapan kuasa transistor diberikan oleh persamaan berikut:

P = I C  V CE + V BE


β

 

Manipulate persamaan ini untuk menyelesaikan beta, memandangkan semua pembolehubah lain.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

β = V BE


P


I C

- V CE

Nota:

Walaupun persoalan ini pada dasarnya tidak lebih dari satu latihan dalam manipulasi algebra, ia juga menjadi peneraju yang baik dalam perbincangan mengenai pentingnya pelesapan kuasa sebagai penarafan peranti semikonduktor.

Suhu tinggi adalah sengal daripada kebanyakan semikonduktor, dan suhu tinggi disebabkan oleh pelesapan kuasa yang berlebihan. Contoh klasik ini, walaupun sedikit bertarikh, adalah kepekaan suhu transistor germanium asal. Peranti ini sangat sensitif terhadap haba, dan akan gagal dengan cepat jika dibenarkan terlalu panas. Jurutera reka bentuk negeri pepejal perlu berhati-hati dalam teknik yang mereka gunakan untuk litar transistor untuk memastikan transistor germanium sensitif mereka tidak akan mengalami "pelarian terma" dan memusnahkan diri mereka.

Silikon lebih memaafkan maka germanium, tetapi haba masih menjadi masalah dengan peranti ini. Pada masa penulisan ini (2004), terdapat kerja pembangunan yang menjanjikan pada teknologi transistor silikon karbida dan galium nitrida, yang dapat berfungsi di bawah suhu lebih tinggi daripada silikon.

Soalan 10

Pereputan pembolehubah dari masa ke masa dalam litar RC atau LR mengikuti ungkapan matematik ini:

e - (t / (τ))

Di mana,

e = pemalar Euler (≈ 2.718281828)

t = Masa, dalam saat

τ = Pemalar masa litar, dalam beberapa saat

Sebagai contoh, jika kita menilai ungkapan ini dan mencapai nilai 0.398, kita akan tahu bahawa pemboleh ubah berkenaan telah merosot dari 100% hingga 39.8% dalam tempoh masa yang dinyatakan.

Walau bagaimanapun, mengira jumlah masa yang diperlukan untuk pemboleh ubah pembusukan untuk mencapai peratusan yang ditetapkan adalah lebih sukar. Kita perlu memanipulasi persamaan untuk menyelesaikan t, yang merupakan sebahagian daripada eksponen.

Tunjukkan bagaimana persamaan berikut boleh dimanipulasi algebra untuk menyelesaikan t, di mana x adalah bilangan antara 0 dan 1 (termasuk) yang mewakili peratusan nilai asal bagi pembolehubah yang berkenaan:

x = e - (t / (τ))

Nota: "helah" di sini ialah cara mengasingkan eksponen ((-t) / (τ)). Anda perlu menggunakan fungsi logaritma semulajadi!

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Menunjukkan semua langkah yang perlu:

x = e - (t / (τ))

lnx = ln (e - (t / (τ)) )

lnx = - t


τ

t = -tlnx

Nota:

Dalam pengalaman saya, kebanyakan graduan sekolah tinggi Amerika amat lemah dalam logaritma. Nampaknya ini tidak diajar dengan baik di peringkat sekolah tinggi, yang memalukan kerana logaritma adalah alat matematik yang kuat. Anda mungkin merasa perlu untuk menjelaskan kepada pelajar anda tentang apa yang logaritma, dan betul-betul kenapa ia "tidak dilakukan" yang eksponen.

Apabila dipaksa untuk memberikan persembahan cepat pada logaritma, saya biasanya bermula dengan definisi generik:

Diberikan: b a = c

Logaritma ditakrifkan: log b c = a

Didefinisikan secara serentak, fungsi logaritma meminta kita untuk mencari kuasa (a) asas (b) yang akan menghasilkan c.

Seterusnya, saya memperkenalkan logaritma biasa. Ini sememangnya adalah logaritma dengan asas 10. Beberapa latihan kalkulator cepat membantu pelajar memahami apa fungsi logaritma umum adalah mengenai:

log10 =

log100 =

log1000 =

log10000 =

log100000 =

log 1


10

=

log 1


100

=

log 1


1000

=

Selepas ini, saya memperkenalkan logaritma semula jadi : logaritma dengan asas e (pemalar Euler):

Logaritma semula jadi ditakrifkan: lnx = log e x

Adakah pelajar anda melakukan pengiraan mudah ini pada kalkulator mereka, dan jelaskan hasilnya:

ln2.71828 =

Seterusnya datang latihan untuk membantu mereka memahami bagaimana logaritma boleh ündo "exponentiation. Adakah pelajar anda mengira nilai berikut:

e 2 =

e 3 =

e 4 =

Sekarang, minta mereka mengambil logaritma semulajadi setiap jawapan tersebut. Mereka akan mendapati bahawa mereka mencapai nilai eksponen asal (2, 3, dan 4). Tulis hubungan ini di papan seperti itu untuk pelajar anda melihat:

lne 2 = 2

3 = 3

4 = 4

Tanyakan kepada pelajar anda untuk menyatakan hubungan ini dalam bentuk umum, menggunakan pemboleh ubah x untuk kuasa dan bukan nombor sebenar:

lne x = x

Seharusnya kini jelas bahawa fungsi logaritma semula jadi mempunyai keupayaan untuk "membatalkan" kuasa e. Kini ia harus jelas kepada pelajar anda mengapa urutan manipulasi algebra yang diberikan dalam jawapan untuk soalan ini adalah benar.

Soalan 11

Keuntungan voltan dan semasa, dinyatakan dalam unit desibel, boleh dikira seperti berikut:

A V (dB) = 10 log (A V (nisbah) ) 2

A I (dB) = 10 log (A I (nisbah) ) 2

Cara lain untuk menulis persamaan ini adalah seperti ini:

A V (dB) = 20 logA V (nisbah)

A I (dB) = 20 logA I (nisbah)

Apa undang-undang algebra membenarkan kami untuk memudahkan persamaan logaritma dengan cara ini "# 11"> Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

loga b = b loga

Soalan cabaran: mengetahui undang-undang algebra ini, selesaikan x dalam persamaan berikut:

520 = 8 x

Nota:

Logaritma adalah alat mengelirukan, tetapi berkuasa, algebra. Dalam contoh ini, kita melihat bagaimana logaritma fungsi kuasa ditukar kepada fungsi pendaraban yang mudah.

Soalan cabaran ini meminta pelajar untuk menerapkan hubungan ini dengan persamaan yang tidak mengandungi logaritma sama sekali. Walau bagaimanapun, peraturan algebra asas adalah bahawa anda boleh melakukan apa-apa operasi (termasuk logaritma) ke mana-mana persamaan selagi anda menggunakannya sama-sama ke kedua-dua belah persamaan. Logaritma membolehkan kita mengambil masalah algebra seperti ini dan mempermudahnya dengan ketara.

Soalan 12

Selesaikan nilai x dalam persamaan berikut:

10x = 80 x =

3 = 15


x

x =

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

10x = 80 x = 8

3 = 15


x

x = 5

Nota:

Sediakan pelajar anda ke hadapan kelas dan tunjukkan kepada orang lain teknik yang mereka gunakan untuk menyelesaikan nilai x dalam setiap persamaan. Ingatkan mereka untuk mendokumentasikan setiap langkah dalam proses itu, supaya tidak ada yang ditebak atau terkejut.

Soalan 13

Selesaikan nilai x dalam persamaan berikut:

5x = 15 x =

6 = x


2

x =

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

5x = 15 x = 3

6 = x


2

x = 12

Nota:

Sediakan pelajar anda ke hadapan kelas dan tunjukkan kepada orang lain teknik yang mereka gunakan untuk menyelesaikan nilai x dalam setiap persamaan. Ingatkan mereka untuk mendokumentasikan setiap langkah dalam proses itu, supaya tidak ada yang ditebak atau terkejut.

Soalan 14

Selesaikan nilai a dalam persamaan berikut:

Persamaan 1: a - 4 = 10

Persamaan 2: 30 = a + 3

Persamaan 3: -2a = 9

Persamaan 4: a / 4 = 3.5

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Persamaan 1: a = 14

Persamaan 2: a = 27

Persamaan 3: a = -4.5

Persamaan 4: a = 14

Nota:

Sediakan pelajar anda ke hadapan kelas dan tunjukkan kepada orang lain teknik yang mereka gunakan untuk menyelesaikan nilai dalam setiap persamaan. Ingatkan mereka untuk mendokumentasikan setiap langkah dalam proses itu, supaya tidak ada yang ditebak atau terkejut.

Soalan 15

Selesaikan nilai x dalam persamaan berikut:

x + 5


2

= 20 x =

6 =


x - 2

x =

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

x + 5


2

= 20 x = 35

6 =


x - 2

x = 38

Nota:

Sediakan pelajar anda ke hadapan kelas dan tunjukkan kepada orang lain teknik yang mereka gunakan untuk menyelesaikan nilai x dalam setiap persamaan. Ingatkan mereka untuk mendokumentasikan setiap langkah dalam proses itu, supaya tidak ada yang ditebak atau terkejut.

Soalan 16

Selesaikan nilai x dalam persamaan berikut:

2 (x + 5) = 36 x =

3 =


2 - x

x =

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

2 (x + 5) = 36 x = 13

3 =


2 - x

x = -7

Nota:

Sediakan pelajar anda ke hadapan kelas dan tunjukkan kepada orang lain teknik yang mereka gunakan untuk menyelesaikan nilai x dalam setiap persamaan. Ingatkan mereka untuk mendokumentasikan setiap langkah dalam proses itu, supaya tidak ada yang ditebak atau terkejut.

Soalan 17

Manipulate setiap persamaan ini untuk menyelesaikan:

b - a


c

= d


a + b

= c 2 d

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

a = b - cd a = c 4 d 2 - b

Nota:

Sediakan pelajar anda ke hadapan kelas dan tunjukkan kepada orang lain teknik yang mereka gunakan untuk menyelesaikannya dalam setiap persamaan. Ingatkan mereka untuk mendokumentasikan setiap langkah dalam proses itu, supaya tidak ada yang ditebak atau terkejut.

Soalan 18

Manipulate setiap persamaan ini untuk menyelesaikan:

a - b


c

= d 2 b + a 2 = c


d

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

a = cd 2 + ba = √


c


d

- b

Nota:

Sediakan pelajar anda ke hadapan kelas dan tunjukkan kepada orang lain teknik yang mereka gunakan untuk menyelesaikannya dalam setiap persamaan. Ingatkan mereka untuk mendokumentasikan setiap langkah dalam proses itu, supaya tidak ada yang ditebak atau terkejut.

Soalan 19

Hitung semua arus dalam litar DC ini:

Petunjuk: ini boleh membantu anda untuk menetapkan persamaan yang diperlukan dengan melabelkan arus melalui perintang yang lebih rendah seperti saya dan arus melalui perintang atas seperti I + 0.005.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Arus perintang atas = 8.5 mA; arus perintang yang lebih rendah = 3.5 mA

Nota:

Ini adalah litar yang menarik untuk dianalisis secara matematik. Walaupun tidak memerlukan persamaan serentak, atau bahkan teorem rangkaian seperti Superposition atau Thévenin, namun demikian adalah latihan yang baik dalam menggunakan undang-undang asas analisis litar (Ohm, Kirchhoff's) dan algebra.

  • ← Lembaran Kerja Sebelumnya

  • Indeks Lembaran Kerja

  • Lembaran kerja seterusnya →