Penggantian Algebra untuk Litar Elektrik

Kaedah mengira litar siri-selari = SESISU (Jun 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Penggantian Algebra untuk Litar Elektrik

Matematik Elektronik


soalan 1

Terdapat dua persamaan Undang-undang Ohm asas: satu berkaitan voltan, arus, dan rintangan; dan voltan, arus dan kuasa lain yang berkaitan (persamaan terakhir kadang-kadang dikenali sebagai Hukum Joule dan bukannya Hukum Ohm):

E = IR

P = IE

Dalam buku teks dan buku rujukan elektronik, anda akan mendapati dua belas variasi dari dua persamaan ini, satu penyelesaian untuk setiap pemboleh ubah dari segi pasangan unik dua pembolehubah lain. Walau bagaimanapun, anda tidak perlu menghafal semua dua belas persamaan jika anda mempunyai keupayaan untuk memanipulasi dua persamaan mudah yang ditunjukkan di atas.

Tunjukkan bagaimana algebra digunakan untuk mendapatkan sepuluh "bentuk" dari dua persamaan Undang-undang Hukum / Joule yang ditunjukkan di sini.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Saya tidak akan menunjukkan kepada anda bagaimana untuk melakukan manipulasi algebra, tetapi saya akan menunjukkan kepada anda sepuluh persamaan lain. Pertama, persamaan-persamaan yang mungkin diperoleh dengan ketat dari E = IR:

I = E


R

R = E


Saya

Seterusnya, persamaan-persamaan yang boleh diperoleh dengan ketara dari P = IE:

I = P


E

E = P


Saya

Seterusnya, persamaan-persamaan yang boleh diperoleh dengan menggunakan penggantian algebra antara dua persamaan asal yang diberikan dalam soalan:

P = I 2 R

P = E 2


R

Dan akhirnya, persamaan-persamaan yang mungkin diperoleh dari memanipulasi dua persamaan kuasa terakhir:

R = P


I 2

I = √


P


R

E =


PR

R = E 2


P

Nota:

Aljabar adalah alat yang sangat penting dalam banyak bidang teknikal. Satu perkara yang baik tentang kajian elektronik adalah bahawa ia menyediakan konteks yang agak mudah di mana asas-asas algebra asas boleh dipelajari (atau sekurang-kurangnya diterangi).

Begitu juga untuk konsep kalkulus juga: prinsip asas derivatif dan integral (sehubungan dengan masa) boleh digunakan dengan mudah untuk litar kapasitor dan induktor, dengan menyediakan konteks yang dapat dicapai oleh para pelajar dengan konsep-konsep lain yang mungkin abstrak. Tetapi kalkulus adalah topik untuk soalan-soalan lembaran kerja kemudian. . .

Soalan 2

Faktor siri litar induktor siri diberikan oleh persamaan berikut:

Q = X L


Siri R

Begitu juga, kita tahu bahawa reaktiviti induktif boleh didapati dengan persamaan berikut:

X L = 2 πf L

Kita juga tahu bahawa kekerapan resonan siri litar LC diberikan oleh persamaan ini:

f r = 1


2 π


LC

Melalui penggantian algebra, tulis persamaan yang memberikan faktor Q suatu siri LC resonant siri secara eksklusif dari segi L, C, dan R, tanpa merujuk kepada reaktansi (X) atau kekerapan (f).

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Q = 1


R

 √


L


C

Nota:

Ini hanya latihan dalam algebra. Walau bagaimanapun, mengetahui bagaimana ketiga-tiga nilai komponen mempengaruhi faktor Q dari litar resonan adalah wawasan berharga dan praktikal!

Soalan 3

Kita tahu bahawa semasa dalam litar siri boleh dikira dengan formula ini:

I = E total


Jumlah R

Kami juga tahu bahawa voltan yang jatuh di mana-mana perintang tunggal dalam litar siri boleh dikira dengan formula ini:

E R = IR

Gabungkan kedua formula ini ke dalam satu, dengan cara yang pembolehubah saya dihapuskan, hanya meninggalkan E R dinyatakan dari segi jumlah E, jumlah R, dan R.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

E R = E total  R


Jumlah R

 

Persoalan susulan: algebraically memanipulasi persamaan ini untuk menyelesaikan E total dari segi semua pembolehubah lain. Dalam erti kata lain, tunjukkan bagaimana anda boleh mengira jumlah voltan yang diperlukan untuk menghasilkan penurunan voltan tertentu (E R ) merentasi perintang tertentu (R), memandangkan jumlah rintangan litar (R total ).

Nota:

Walaupun "rumus pembahagi voltan" ini boleh didapati di dalam beberapa buku rujukan elektronik, pelajar anda perlu memahami cara algebraa memanipulasi formula yang diberikan untuk tiba di yang satu ini.

Soalan 4

Penggantian adalah satu teknik di mana kita membiarkan pembolehubah mewakili (berdiri di tempat) pembolehubah lain atau ungkapan yang dibuat daripada pembolehubah lain. Satu aplikasi di mana kita boleh menggunakan penggantian adalah apabila kita mesti memanipulasi ungkapan algebra yang mengandungi banyak pemboleh ubah yang serupa, seperti yang sering berlaku dengan masalah sains.

Ambil litar perintang selari ini contohnya:

Persamaan yang menyatakan jumlah rintangan sebagai fungsi daripada empat nilai resistor kelihatan seperti ini:

R total = R 1 + R 2 (R 3 + R 4 )


R 2 + R 3 + R 4

Sekarang bayangkan diminta untuk memanipulasi persamaan ini untuk menyelesaikan R 3 . Apabila satu-satunya ciri visual yang membezakan setiap pembolehubah adalah subskrip ( jumlah, 1, 2, 3, atau 4 ), ia menjadi sangat mudah untuk menjejaskan mana satu dalam manipulasi algebra. Kesilapan yang sangat biasa ialah menukar atau tidak perlu ulang subkrip semasa proses, dengan salah menyusun satu atau lebih pembolehubah. Untuk membantu mengelakkan kesilapan sedemikian, anda boleh menggantikan pembolehubah huruf yang berbeza untuk keseluruhan R, R1, R2, R3, dan R4 seperti ini:

Jadual penggantian


Pembolehubah asalPembolehubah baru


Jumlah Ry


R 1a


R 2b


R 3c


R 4d


y = a + b (c + d)


b + c + d

Setelah melakukan manipulasi algebra untuk menyelesaikan c (R 3 ), persamaan seperti ini:

c = (y-a) (b + d) - bd


a + b - y

Gantikan semula pembolehubah R yang asal sebagai pengganti a, b, c, d, dan y kerana anda melihatnya dalam persamaan di atas untuk sampai ke bentuk yang secara langsung berkaitan dengan gambarajah skematik.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R 3 = (R total -R 1 ) (R 2 + R 4 ) - R 2 R 4


R 1 + R 2 - R total

Soalan cabaran: tunjukkan semua langkah yang akan anda ambil untuk menyelesaikan R3 dalam persamaan asal.

Nota:

Di sini saya menunjukkan penggunaan penggantian yang berguna hanya kerana otak manusia mempunyai kesukaran membezakan simbol-simbol yang serupa. Penggunaan lebih banyak penggunaan penggantian algebra ada, sudah tentu, tetapi ini adalah permulaan untuk pelajar yang tidak pernah melihat konsep sebelum ini.

Soalan 5

Penggantian adalah satu teknik di mana kita membiarkan pembolehubah mewakili (berdiri di tempat) pembolehubah lain atau ungkapan yang dibuat daripada pembolehubah lain. Satu aplikasi di mana kita boleh menggunakan penggantian ialah apabila kita mesti memanipulasi ungkapan algebra yang mengandungi banyak contoh ungkapan sub-sama. Misalnya, kita perlu memanipulasi persamaan ini untuk menyelesaikan c:

1 = a + b (d 2 - f 2 ) + c


d 2 - f 2

Sub-ungkapan d 2 - f 2 muncul dua kali dalam persamaan ini. Bukankah lebih baik jika kita mempunyai sesuatu yang lebih mudah untuk diletakkan di tempatnya semasa kita sibuk memanipulasi persamaan itu, jika tidak ada sebab lain daripada mempunyai kurang pembolehubah untuk menulis pada kertas kita sambil menunjukkan semua langkah-langkah untuk kerja kita " # 5 "> Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Persamaan asal:

1 = a + b (d 2 - f 2 ) + c


d 2 - f 2

Selepas menggantikan x:

1 = a + bx + c


x

Selepas memanipulasi persamaan untuk menyelesaikan c:

c = x (1-b) - a

Back-substituting sub-ekspresi asal sebagai ganti x:

c = (d 2 -f 2 ) (1-b) - a

Nota:

Di sini saya menunjukkan aplikasi penggantian yang berguna hanya kerana otak manusia mempunyai masa yang lebih mudah berurusan dengan satu simbol daripada dengan koleksi simbol yang berlainan. Penggunaan lebih banyak penggantian algebra ada, tentu saja, tetapi ini adalah permulaan untuk pelajar yang baru dalam konsep itu.

Soalan 6

Penggantian adalah istilah yang kita berikan kepada kesetaraan matematik satu pemboleh ubah kepada satu atau lebih pembolehubah lain dalam ungkapan. Ia adalah prinsip asas yang digunakan untuk menggabungkan dua atau lebih persamaan menjadi satu persamaan (antara lain).

Sebagai contoh, kita tahu bahawa formula untuk mengira arus dalam litar satu-perintang mudah adalah seperti berikut:

Kami juga tahu bahawa jumlah rintangan (R) bagi litar siri tiga-resistor adalah seperti berikut:

Gabungkan dua persamaan ini bersama-sama menggunakan penggantian supaya kita mempunyai satu persamaan untuk mengira arus I dalam litar siri tiga-perintang yang diberikan sumber voltan V dan setiap nilai rintangan R1, R2, dan R3:

Dalam erti kata lain, anda perlu mempunyai jawapan anda satu persamaan yang bermula dengan "I =" dan mempunyai semua pembolehubah V, R 1, R 2, dan R 3 di sisi lain tanda "erti".

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

I = V


R 1 + R 2 + R 3

Nota:

Saya suka bercakap mengenai proses penggantian dari segi definisi untuk pembolehubah. Dalam kes ini, R 1 + R 2 + R 3 adalah takrif bagi R yang kita masukkan ke dalam R pada persamaan pertama (I = V / R ).

Notasi yang ditunjukkan dalam skema ketiga, I = f (V, R 1, R 2, R 3 ), dikenali sebagai notasi fungsi . Ia hanya bermaksud bahawa nilai saya ditentukan oleh nilai semua pembolehubah dalam kurungan, bukannya satu.

Soalan 7

Kita tahu bahawa voltan dalam litar selari boleh dikira dengan formula ini:

E = Saya berjumlah total R

Kami juga tahu bahawa semasa melalui mana-mana perintang tunggal dalam litar selari boleh dikira dengan formula ini:

I R = E


R

Gabungkan kedua formula ini menjadi satu, dengan cara bahawa pembolehubah E dihapuskan, meninggalkan hanya I R menyatakan dari segi jumlah saya, R total, dan R.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Saya R = saya total  Jumlah R


R

 

Bagaimanakah formula ini sama, dan bagaimana ia berbeza, dari formula "pembahagi voltan" "nota tersembunyi"> Nota:

Walaupun formula "pembahagi semasa" ini boleh didapati di dalam beberapa buku rujukan elektronik, pelajar anda perlu memahami bagaimana cara algebra memanipulasikan formula yang diberikan untuk tiba pada yang satu ini.

Pada mulanya ia mungkin kelihatan seolah-olah dua rumus pembahagi (voltan versus semasa) mudah dikelirukan. Adakah itu (R / (R total )) atau ((R total ) / R)? Walau bagaimanapun, terdapat cara yang sangat mudah untuk mengingati pecahan yang mana formulanya, berdasarkan nilai berangka pecahan itu. Sebutkan ini kepada pelajar anda dan sekurang-kurangnya satu daripada mereka pasti akan mengenali pola tersebut.

Soalan 8

Katakan kita hanya tahu arus pemancar dan pangkalan untuk transistor operasi dan ingin mengira β dari maklumat itu. Kami memerlukan definisi beta cast dari segi I E dan I B bukan I C dan I B.

Gunakan penggantian algebra ke formula β = ((I C ) / (I B )) supaya beta (β) ditakrifkan dari segi I E dan I B. Anda mungkin mendapati persamaan berikut membantu dalam kerja anda:

I E = I C + I B

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

β = I E


Saya b

- 1

Nota:

Persoalan ini tidak lebih daripada latihan dalam manipulasi algebra.

Soalan 9

Rintangan sekeping dawai tembaga pada suhu T (dalam darjah Celsius) diberikan oleh formula berikut:

R T = R o (1 + 0.004041 (T - 20))

Katakan anda ingin mengubah formula ini supaya ia boleh menerima nilai untuk unit dalam darjah Fahrenheit dan bukan darjah Celsius. Katakan juga bahawa satu-satunya formula yang anda boleh cari untuk menukar antara Fahrenheit (T F ) dan Celsius (T C ) adalah yang berikut:

T F = T C  9


5

  + 32

Menggabungkan dua formula ini menjadi satu penyelesaian untuk rintangan sampel wayar tembaga (R T ) pada suhu tertentu dalam darjah Celcius (T C ), memandangkan rintangan "rujukan" (R o ) pada suhu 20 o Celsius (suhu bilik) .

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R T = R o  1 + 0.004041  5


9

T F - 37.


77

  

Nota:

Penyelesaian masalah algebra ini memerlukan kedua-dua manipulasi persamaan suhu dan penggantian pembolehubah. Satu terperinci penting yang saya masukkan ke dalam soalan ini ialah kekurangan subskrip untuk T dalam formula rintangan asal. Dalam ayat pertama saya mengenal pasti bahawa suhu berada dalam darjah Celsius, tetapi kerana tidak ada pembolehubah T lain dalam persamaan, saya tidak perlu memasukkan "C" subskrip. Apabila pelajar melihat formula penukaran Celsius-Fahrenheit untuk menggantikan rumus rintangan, mereka mesti memutuskan yang T dalam formula penukaran digunakan, T F atau T C. Di sini, saya sengaja menulis formula penukaran dari segi T F untuk melihat berapa ramai pelajar menggantikan T Titu untuk T dalam formula ketahanan bukannya dengan tepat mengenal pasti T C sebagai pemboleh ubah untuk menggantikan dan melakukan kerja manipulasi.

Jauh daripada menjadi "tipu" persoalan, senario ini sangat realistik. Formula yang dijumpai dalam manual rujukan tidak semestinya menggunakan pembolehubah yang standard, tetapi meletakkan pemboleh ubahnya mengikut konteks. Rumus berbilang kemungkinan besar tidak akan ditulis dengan pembolehubah yang berlainan yang sama hanya menunggu untuk digantikan. Ia adalah domain teknisi pintar, jurutera, atau saintis untuk mengetahui apa pembolehubah yang sesuai untuk menggantikan berdasarkan konteks!

Soalan 10

Parameter transistor persimpangan bipolar mirip dengan β ialah älpha, "dilambangkan oleh huruf Yunani α. Ia ditakrifkan sebagai nisbah antara arus pengumpul dan arus pemancar:

α = I C


I E

Gunakan penggantian algebra ke formula ini supaya alpha ditakrifkan sebagai fungsi beta: α = f (β). Dengan kata lain, gantikan dan memanipulasi persamaan ini sehingga anda mempunyai alpha dengan sendirinya pada satu sisi dan tiada pembolehubah kecuali beta pada yang lain.

Anda mungkin mendapati persamaan berikut membantu dalam kerja anda:

β = I C


Saya b

I E = I C + I B

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

α = β


β + 1

Soalan susulan: apa julat nilai yang anda jangkakan untuk α, dengan transistor tipikal?

Nota:

Persoalan ini tidak lebih daripada latihan dalam manipulasi algebra.

Soalan 11

Q, atau faktor kualiti, litar induktor ditakrifkan oleh persamaan berikut, di mana X s adalah reaktiviti induktor siri dan R s adalah rintangan siri:

Q = X s


R s

Kami juga tahu bahawa kami boleh menukar antara rangkaian AC dan rangkaian setara setara dengan persamaan penukaran berikut:

R s R p = Z 2 X s X p = Z 2

Rangkaian siri dan selari LR, jika betul-betul sama, harus berkongsi faktor Q yang sama serta berkongsi galangan yang sama. Membangunkan persamaan yang menyelesaikan faktor Q litar selari litar.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Q = R p


X p

Soalan susulan: keadaan apa yang memberi nilai terbesar untuk Q, rintangan selari rendah atau rintangan selari tinggi "// www.allaboutcircuits.com/textbook/alternating-current/chpt-3/series-resistor-inductor-circuits/ "> litar siri LR, dan terangkan kedua-dua senario.

Nota:

Ini terutamanya latihan dalam penggantian algebra, tetapi ia juga mencabar pelajar untuk berfikir secara mendalam mengenai sifat Q dan apa maksudnya, terutamanya dalam soalan susulan.

Soalan 12

Persamaan yang berkaitan dengan kebarangkalian prestasi berterusan bagi komponen atau sistem berbanding masa boleh dinyatakan seperti berikut:

x = e- t / m

Di mana,

x = Kemungkinan (nombor antara 0 dan 1, termasuk)

e = pemalar Euler (≈ 2.7182818)

t = Masa operasi berterusan

m = Masa Min di Antara Kegagalan komponen atau sistem

Unit masa untuk kedua t dan m mestilah sama. Iaitu, jika t diukur pada tahun-tahun, maka m juga harus dinyatakan dalam tahun atau persamaan akan memberi jawapan yang sangat mengelirukan.

Katakan, walaupun, kita diberikan m dalam tahun, dan waktu operasi pada hari-hari . Gantikan hubungan t d = 365 t y ke dalam persamaan kebolehpercayaan supaya kita akan mempunyai persamaan baru yang boleh mengambil t dalam hari (t d ) dan m dalam tahun, dan masih memberikan jawapan yang betul.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

x = e -t d / 365 m

Nota:

Ini benar-benar bukan satu latihan mudah dalam penggantian matematik.

Persamaan ini datang dari Handbook Standard of Calculation Calculations oleh Tyler G Hicks, PE (1972), halaman 5-21.

Soalan 13

Kapasiti yang bergantung kepada voltan diod varactor diberikan oleh persamaan berikut:

C j = C o



2V + 1

Di mana,

C J = Kapasiti persimpangan

C o = Kapasiti persimpangan tanpa voltan yang digunakan

V = Terus voltan persimpangan yang digunakan

Gabungkan persamaan ini dengan persamaan standar untuk kekerapan dalam litar LC resonant untuk mencapai persamaan baru yang memberikan frekuensi resonan dari segi C o, V, dan L.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

f r = 1


2 π √


LC o


√ {2V + 1}

Nota:

Tanya pelajar anda jenis litar yang mungkin digunakan oleh persamaan ini.

  • ← Lembaran Kerja Sebelumnya

  • Indeks Lembaran Kerja

  • Lembaran kerja seterusnya →