Logaritma untuk Litar Analog

Week 4 (Jun 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Logaritma untuk Litar Analog

Matematik Elektronik


soalan 1

Konsep kuasa matematik adalah biasa kepada kebanyakan pelajar algebra. Sebagai contoh, sepuluh ke kuasa ketiga bermakna ini:

10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

. . . dan lapan hingga kekuatan ketujuh bermakna ini:

8 7 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 2, 097, 152

Sama seperti pengurangan adalah fungsi songsang penambahan, dan pembahagian adalah fungsi songsang pendaraban (kerana dengan fungsi songsang, satu "membatalkan" yang lain), terdapat juga fungsi songsang untuk kuasa dan kita memanggilnya logaritma .

Tulis semula ungkapan 10 3 = 1000 supaya ia menggunakan kuantiti yang sama (10, 3, dan 1000) dalam konteks logaritma bukannya kuasa, sama seperti penolakan ditunjukkan di sini sebagai kebalikan tambahan, dan bahagian ditunjukkan sebagai kebalikan dari pendaraban dalam contoh berikut:

3 + 8 = 11 (+ dan - adalah fungsi songsang) 11 - 3 = 8

2 × 7 = 14 (× dan ÷ adalah fungsi songsang) 14 ÷ 2 = 7

10 3 = 1000 (kuasa dan log adalah fungsi songsang) log 10 "# 1"> Menerangkan jawapan Sembunyikan jawapan

10 3 = 1000 (kuasa dan balak adalah fungsi songsang) log 10 1000 = 3

Nota:

Dalam pengalaman saya, kebanyakan pelajar Amerika sangat kurang bersedia untuk subjek logaritma ketika mereka belajar dengan saya. Diakui, logaritma tidak banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari seperti yang dilakukan oleh kuasa (dan ini sangat sedikit untuk kebanyakan orang kerana itu!). Logaritma digunakan untuk tambang biasa untuk pelajar sekolah menengah dan kolej, kerana ia adalah penting untuk operasi peraturan slaid, peranti pengkomputeran analog mekanikal yang elegan yang popular beberapa dekad lalu.

Tujuan soalan ini adalah untuk dua: untuk mendapatkan pelajar menyedari apa yang logaritma, dan juga untuk mengingatkan mereka tentang konsep fungsi songsang, yang menjadi sangat penting dalam litar pengkomputeran analog.

Soalan 2

Memandangkan ungkapan matematik berikut, tulis satu lagi yang menentukan logaritma menggunakan pembolehubah yang sama:

Jika: x y = z Kemudian: log ? ? =?

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Jika: x y = z Kemudian: log x z = y

Nota:

Tiada apa yang istimewa di sini. Sesungguhnya jawapan untuk soalan ini boleh didapati dari mana-mana buku teks algebra.

Soalan 3

Kalkulator elektronik dengan keupayaan logaritma mempunyai sekurang-kurangnya dua jenis logaritma yang berbeza: logaritma biasa dan logaritma semulajadi, yang dilambangkan sebagai "log" dan "ln". Terangkan perbezaan diantara kedua jenis logaritma ini.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Fungsi logaritma biasa menganggap nilai "asas" sepuluh, sedangkan logaritma semula jadi menganggap nilai asas e (pemalar Euler).

Soalan susulan: apakah nilai anggaran e? Bagaimanakah anda boleh mendapatkan kalkulator anda untuk memberi anda jawapan (bukannya melihatnya dalam buku matematik?

Nota:

Sesetengah kalkulator, tentu saja, membolehkan anda mengekstrak logaritma mana-mana nombor ke mana-mana asas. Di sini, saya hanya mahu para pelajar menjadi terbiasa dengan dua fungsi logaritma yang terdapat pada kalkulator saintifik yang paling asas.

Ambil perhatian bahawa sesetengah kalkulator akan menunjukkan hanya angka e yang cukup untuk memberi kesan palsu yang mereka ulangi (sepuluh angka: e = 2.718281828). Sekiranya ada yang menyatakan bahawa e ialah nombor perpuluhan berulang (rasional), betulkan salah faham ini dengan mengatakan bahawa ia tidak rasional seperti π.

Soalan 4

Perhatikan identiti logaritma berikut, menggunakan logaritma "biasa" (asas 10):

log10 = 1

log100 = 2

log1000 = 3

log10000 = 4

Dalam persamaan pertama, nombor 10 dan 1 dikaitkan bersama oleh fungsi log. Dalam persamaan kedua, nombor 100 dan 2 dikaitkan bersama oleh fungsi log yang sama, dan sebagainya.

Tulis semula empat persamaan bersama-sama sedemikian rupa sehingga nombor yang sama berkaitan dengan satu sama lain, tetapi tanpa menulis "log". Dengan kata lain, mewakili hubungan matematik yang sama menggunakan beberapa fungsi matematik selain daripada fungsi logaritma biasa.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

Nota:

Satu ilustrasi seperti ini membantu pelajar memahami apa fungsi "log" sebenarnya.

Soalan 5

Perhatikan identiti logaritma berikut, menggunakan logaritma "biasa" (asas 10):

log0.1 = -1

log0.01 = -2

log0.001 = -3

log0.0001 = -4

Dalam persamaan pertama, nombor 0.1 dan 1 dikaitkan bersama oleh fungsi log. Dalam persamaan kedua, angka 0.01 dan 2 dikaitkan bersama oleh fungsi log yang sama, dan sebagainya.

Tulis semula empat persamaan bersama-sama sedemikian rupa sehingga nombor yang sama berkaitan dengan satu sama lain, tetapi tanpa menulis "log". Dengan kata lain, mewakili hubungan matematik yang sama menggunakan beberapa fungsi matematik selain daripada fungsi logaritma biasa.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

10 -1 = 0.1

10 -2 = 0.01

10 -3 = 0.001

10 -4 = 0.0001

Nota:

Satu ilustrasi seperti ini membantu pelajar memahami apa fungsi "log" sebenarnya.

Soalan 6

Kaji perkembangan pernyataan matematik berikut:

(10 2 ) (10 3 ) = 100000

10 2 + 3 = 100000

10 5 = 100000

Apa corak ini menunjukkan? Apakah prinsip algebra yang digambarkan oleh ketiga persamaan ini?

Seterusnya, periksa perkembangan pernyataan matematik ini:

log10 5 = log100000 = 5

log10 2 + 3 = log100000 = 5

log10 2 + log10 3 = log100000 = 5

Apa corak ini menunjukkan? Apakah prinsip algebra yang digambarkan oleh ketiga persamaan ini?

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Corak pertama:

Produk dua nombor asas dengan eksponen berbeza adalah sama dengan jumlah asas yang dibangkitkan kepada kuasa jumlah eksponen.

Corak kedua:

Jumlah dua logaritma adalah sama dengan logaritma produk kedua nombor tersebut.

Nota:

Dalam soalan ini, saya mahu pelajar mula melihat bagaimana logaritma mengaitkan pendaraban untuk penambahbaikan, dan bagaimana kuasa mengaitkan penambahan kepada pendaraban. Ini adalah langkah awal kepada pelajar yang mengiktiraf logaritma sebagai fungsi transform : satu cara untuk mengubah satu jenis masalah matematik ke dalam masalah matematik yang lebih mudah.

Soalan 7

Perhatikan perkembangan pernyataan matematik ini:

(100) (1000) = 100000

(100) (1000) = 10 5

log ((100) (1000)) = log10 5

log100 + log1000 = log10 5

log10 2 + log10 3 = log10 5

2 + 3 = 5

Apa yang bermula sebagai masalah pendaraban berakhir sebagai masalah penambahan, melalui penerapan logaritma. Apakah ini memberitahu anda tentang kegunaan logaritma sebagai alat aritmetik?

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Logaritma itu dapat mengurangkan kerumitan persamaan dari pendaraban, hingga penambahan, menunjukkan kegunaannya sebagai alat untuk memudahkan masalah aritmetik. Khususnya, logaritma produk adalah sama dengan jumlah logaritma dari dua nombor yang didarab.

Nota:

Dalam matematik, apa-apa prosedur yang mengurangkan jenis masalah yang rumit menjadi jenis masalah yang lebih mudah dipanggil fungsi transformasi, dan logaritma adalah salah satu jenis yang paling mudah untuk mengubah fungsi kewujudan.

Soalan 8

Katakan anda mempunyai kalkulator saintifik dengan dua butang yang rosak: berganda (×) dan membahagikan (÷). Tunjukkan bagaimana anda dapat menyelesaikan masalah pendaraban sederhana ini dengan hanya menggunakan logaritma, penambahan, dan antilogaritma (kuasa):

7 × 5 =? ? ?

Jawapan untuk masalah ini adalah cukup mudah bagi anda untuk mengetahui tanpa kalkulator sama sekali, jadi berikut adalah beberapa masalah amalan untuk anda cuba:

23 × 35 =
781 × 92 =
19.4 × 60 =
0.019 × 2.6 =
Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Di sini saya akan menunjukkan kepada anda langkah-langkah untuk menggunakan logaritma untuk menyelesaikan masalah pendaraban yang pertama:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = 10 log7 + log5

7 × 5 = 10 0.8451 + 0.6990

7 × 5 = 10 1.5441

7 × 5 = 35

Oleh kerana yang lain cukup mudah untuk anda menyemak (dengan kalkulator yang tidak patah!), Saya akan meninggalkan penyelesaian mereka di tangan yang berkebolehan.

Nota:

Secara kebetulan, tidak ada yang khusus mengenai logaritma biasa untuk menjamin penggunaan eksklusifnya dalam masalah ini. Kita boleh menggunakan fungsi logaritm semula jadi dengan mudah dengan hasil yang sama (akhir):

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = e ln7 + ln5

7 × 5 = e 1.9459 + 1.6094

7 × 5 = e 3.5553

7 × 5 = 35

Soalan 9

Perhatikan perkembangan pernyataan matematik ini:

1000


100

= 10

1000


100

= 10 1

log  1000


100

  = log10 1

log1000 - log100 = log10 1

log10 3 - log10 2 = log10 1

3 - 2 = 1

Apa yang bermula sebagai masalah pembahagian berakhir sebagai masalah penolakan, melalui penerapan logaritma. Apakah ini memberitahu anda tentang kegunaan logaritma sebagai alat aritmetik?

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Logaritma itu dapat mengurangkan kerumitan persamaan dari pembahagian, hingga pengurangan, menunjukkan kegunaannya sebagai alat untuk memudahkan masalah aritmetik. Khususnya, logaritma sebilangan adalah sama dengan perbezaan antara logaritma kedua-dua nombor yang dibahagikan.

Nota:

Dalam matematik, apa-apa prosedur yang mengurangkan jenis masalah yang rumit menjadi jenis masalah yang lebih mudah dipanggil fungsi transformasi, dan logaritma adalah salah satu jenis yang paling mudah untuk mengubah fungsi kewujudan.

Soalan 10

Katakan anda mempunyai kalkulator saintifik dengan dua butang yang rosak: berganda (×) dan membahagikan (÷). Tunjukkan bagaimana anda dapat menyelesaikan masalah pendaraban sederhana ini dengan hanya menggunakan logaritma, penambahan, dan antilogaritma (kuasa):

12 ÷ 3 =? ? ?

Jawapan untuk masalah ini adalah cukup mudah bagi anda untuk mengetahui tanpa kalkulator sama sekali, jadi berikut adalah beberapa masalah amalan untuk anda cuba:

122 ÷ 35 =
781 ÷ 92 =
19.4 ÷ 60 =
3.5 ÷ 0.21 =
Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Di sini saya akan menunjukkan kepada anda langkah-langkah untuk menggunakan logaritma untuk menyelesaikan masalah pendaraban yang pertama:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = 10 log12 - log3

12 ÷ 3 = 10 1.0792 - 0.4771

12 ÷ 3 = 10 0.6021

12 ÷ 3 = 4

Oleh kerana yang lain cukup mudah untuk anda menyemak (dengan kalkulator yang tidak patah!), Saya akan meninggalkan penyelesaian mereka di tangan yang berkebolehan.

Nota:

Secara kebetulan, tidak ada yang khusus mengenai logaritma biasa untuk menjamin penggunaan eksklusifnya dalam masalah ini. Kita boleh menggunakan fungsi logaritm semula jadi dengan mudah dengan hasil yang sama (akhir):

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = e ln12 - ln3

12 ÷ 3 = e 2.4849 - 1.0986

12 ÷ 3 = e 1.3863

12 ÷ 3 = 4

Soalan 11

Perhatikan perkembangan pernyataan matematik ini:

(1000) 2 = 1000000

(1000) 2 = 10 6

log ((1000) 2 ) = log10 6

(2) (log1000) = log10 6

(2) (log10 3 ) = log10 6

(2) (3) = 6

Apa yang bermula sebagai masalah eksponen berakhir sebagai masalah pendaraban, melalui penerapan logaritma. Apakah ini memberitahu anda tentang kegunaan logaritma sebagai alat aritmetik?

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Logaritma itu dapat mengurangkan kerumitan persamaan dari exponentiation, hingga pendaraban, menunjukkan kegunaannya sebagai alat untuk mempermudah masalah aritmetik. Khususnya, logaritma nombor yang dibangkitkan kepada kuasa adalah sama dengan kuasa yang didarabkan dengan logaritma nombor tersebut.

Nota:

Dalam matematik, apa-apa prosedur yang mengurangkan jenis masalah yang rumit menjadi jenis masalah yang lebih mudah dipanggil fungsi transformasi, dan logaritma adalah salah satu jenis yang paling mudah untuk mengubah fungsi kewujudan.

Soalan 12

Katakan anda mempunyai kalkulator saintifik dengan dua butang yang rosak: kuasa (y x ) dan root ( x

√ {y}). Tunjukkan bagaimana anda dapat menyelesaikan masalah kuasa mudah ini dengan hanya menggunakan logaritma, pendaraban, dan antilogaritma (kuasa):

3 4 =? ? ?

Jawapan untuk masalah ini adalah cukup mudah bagi anda untuk mengetahui tanpa kalkulator sama sekali, jadi berikut adalah beberapa masalah amalan untuk anda cuba:

25 6 =
564 3 =
0.224 2 =
41 0.3 =
Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Di sini saya akan menunjukkan kepada anda langkah-langkah untuk menggunakan logaritma untuk menyelesaikan masalah pendaraban yang pertama:

3 4 =? ? ?

3 4 = 10 (4 log3)

3 4 = 10 (4) (0.4771)

3 4 = 10 1.9085

3 4 = 81

Oleh kerana yang lain cukup mudah untuk anda menyemak (dengan kalkulator yang tidak patah!), Saya akan meninggalkan penyelesaian mereka di tangan yang berkebolehan.

Nota:

Secara kebetulan, tidak ada yang khusus mengenai logaritma biasa untuk menjamin penggunaan eksklusifnya dalam masalah ini. Kita boleh menggunakan fungsi logaritm semula jadi dengan mudah dengan hasil yang sama (akhir):

3 4 =? ? ?

3 4 = e (4 ln3)

3 4 = e (4) (1.0986)

3 4 = e 4.3944

3 4 = 81

Soalan 13

Perhatikan perkembangan pernyataan matematik ini:


1000

= 10 1.5

log


1000

= log (10 1.5 )

log (1000 1/2) = log (10 1.5 )

1


2

(log1000) = log (10 1.5 )

1


2

(log10 3 ) = log (10 1.5 )

3


2

(log10) = log (10 1.5 )

3


2

(1) = log (10 1.5 )

3


2

= log (10 1.5 )

3


2

= 1.5

Apa yang bermula sebagai masalah eksponen pecahan berakhir sebagai pecahan yang mudah, melalui penerapan logaritma. Apakah ini memberitahu anda tentang kegunaan logaritma sebagai alat aritmetik?

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Logaritma tersebut dapat mengurangkan kerumitan persamaan dari eksponensi fraksional, hingga pecahan mudah, menunjukkan kegunaannya sebagai alat untuk memudahkan masalah aritmetik. Khususnya, logaritma akar satu nombor adalah sama dengan logaritma nombor yang dibahagikan oleh indeks akar.

Nota:

Dalam matematik, apa-apa prosedur yang mengurangkan jenis masalah yang rumit menjadi jenis masalah yang lebih mudah dipanggil fungsi transformasi, dan logaritma adalah salah satu jenis yang paling mudah untuk mengubah fungsi kewujudan.

Soalan 14

Katakan anda mempunyai kalkulator saintifik dengan dua butang yang rosak: kuasa (y x ) dan root ( x

√ {y}). Tunjukkan bagaimana anda dapat menyelesaikan masalah akar mudah ini hanya menggunakan logaritma, pembahagian, dan antilogarithms (kuasa):

3


8

=? ? ?

Jawapan untuk masalah ini adalah cukup mudah bagi anda untuk mengetahui tanpa kalkulator sama sekali, jadi berikut adalah beberapa masalah amalan untuk anda cuba:

4 √ {13} =
5 √ {209} =
2.5 √ {9935} =
9.2 √ {0.15} =
Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Di sini saya akan menunjukkan kepada anda langkah-langkah untuk menggunakan logaritma untuk menyelesaikan masalah pendaraban yang pertama:

3


8

=? ? ?

3


8

= 10 (1/3 log8)

3


8

= 10 (1/3 (0.9031))

3


8

= 10 0.3010

3


8

= 2

Oleh kerana yang lain cukup mudah untuk anda menyemak (dengan kalkulator yang tidak patah!), Saya akan meninggalkan penyelesaian mereka di tangan yang berkebolehan.

Nota:

Secara kebetulan, tidak ada yang khusus mengenai logaritma biasa untuk menjamin penggunaan eksklusifnya dalam masalah ini. Kita boleh menggunakan fungsi logaritm semula jadi dengan mudah dengan hasil yang sama (akhir):

3


8

=? ? ?

3


8

= e (1/3 ln8)

3


8

= e (1/3 (2.0794))

3


8

= e 0.6931

3


8

= 2

Soalan 15

Anda mungkin tertanya-tanya mengapa sesiapa akan mengganggu penggunaan logaritma untuk menyelesaikan masalah aritmetik yang mana kami mempunyai fungsi kalkulator elektronik digital yang sangat baik dan berkesan pada pelupusan kami. Sebagai contoh, kenapa ada yang melakukan ini:

10 log7 + log5

. . . apabila mereka hanya dapat melakukan yang berikut pada kalkulator yang sama?

7 × 5

Jawapan yang cepat kepada soalan yang sangat baik ini ialah, "apabila lebih sukar untuk langsung mengalikan dua nombor." Masalahnya ialah, kebanyakan orang mempunyai masa yang sukar dibayangkan apabila lebih mudah untuk mengambil dua logaritma, menambahkannya bersama-sama, dan Menaikkan sepuluh ke kekuatan itu daripada hanya mengalikan dua angka asal bersama.

Jawapan kepada misteri itu terdapat dalam litar penguat operasi. Kerana ternyata, lebih mudah untuk membina litar opamp tunggal yang menambah, menolak, exponentiate, atau mengambil logaritma daripada membina satu yang secara langsung melipatgandakan atau membahagikan dua kuantiti (voltan analog) bersama-sama.

Kita mungkin memikirkan fungsi opamp ini sebagai "blok" yang mungkin dihubungkan untuk melaksanakan fungsi aritmetik komposit:

Menggunakan model "blok" fungsi matematik tertentu, tunjukkan bagaimana set blok fungsi matematik berikut boleh dihubungkan bersama untuk membiak dua voltan analog bersama-sama:

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Nota:

Tujuan soalan ini adalah mudah: untuk menyediakan aplikasi praktikal untuk logaritma sebagai bantuan komputer dalam zaman alat-alat pengkomputeran yang murah, sentiasa ada, di mana-mana.

Soalan 16

Logaritma mempunyai sifat yang menarik, yang boleh kita eksploitasi dalam litar elektronik untuk melaksanakan operasi kompleks tertentu. Dalam soalan ini, saya cadangkan anda menggunakan kalkulator tangan untuk meneroka sifat-sifat ini.

Kirakan yang berikut:

10 log3 =
log (10 8 ) =
e ln3 =
ln (e 8 ) =
10 (log3 + log5) =
e (ln3 + ln5) =
10 (log2.2 + log4) =
e (ln2.2 + ln4) =
10 (log12 - log4) =
e (ln12 - ln4) =
10 (2 log3) =
e (2 ln3) =
10 ((log25 / 2)) =
e ((ln25 / 2)) =
Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

10 log3 = 3
log (10 8 ) = 8
e ln3 = 3
ln (e 8 ) = 8
10 (log3 + log5) = 15
e (ln3 + ln5) = 15
10 (log2.2 + log4) = 8.8
e (ln2.2 + ln4) = 8.8
10 (log12 - log4) = 3
e (ln12 - ln4) = 3
10 (2 log3) = 9
e (2 ln3) = 9
10 ((log25 / 2)) = 5
e ((ln25 / 2)) = 5

Nota:

Bincangkan apakah operasi matematik sedang dilakukan dengan pemalar dalam persamaan ini, dengan menggunakan logaritma. Apa corak pelajar anda notis "meta-tag hidden-print">

Alat Berkaitan:

Refleksi Attenuator Kalkulator N-Way Power Divider Calculator Broadside Coupled Trace Inductance Calculator

  • ← Lembaran Kerja Sebelumnya

  • Indeks Lembaran Kerja

  • Lembaran kerja seterusnya →