Matematik Phasor

Lek 1 | Matematik - Komplekse Tal (Part 1/2) (Jun 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Matematik Phasor

Matematik Elektronik


soalan 1

Sediakan definisi untuk phasor, kerana istilah ini digunakan untuk pengiraan elektrik.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

"Phasor" adalah perwakilan nombor kompleks kuantiti elektrik, seperti voltan, arus, atau galangan.

Nota:

Bahan kompleks mesti ada dalam definisi fasor. Phasor, sementara ia boleh diklasifikasikan sebagai satu jenis vektor (mempunyai kedua-dua magnitud dan arah), tidak sama dengan vektor yang biasa digunakan dalam bidang fizik lain (cth. Vektor daya, vektor medan elektrik / magnetik, dan sebagainya).

Soalan 2

Satu siri adalah konsep yang sangat penting dalam matematik. Notasi biasa untuk "siri" kelihatan seperti ini (sejenis siri "geometri" ditunjukkan di sini sebagai contoh):

∞ Σ n = 0 x n

Terangkan apa arti notasi ini, dan bagaimana kita boleh menghampiri nilai satu siri untuk nilai terhingga n.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Satu "siri" terdiri daripada satu set istilah ditambah bersama, setiap istilah yang berkaitan dengan yang lain dengan bentuk yang sama, hanya dibezakan oleh kenaikan atau pengurangan pembolehubah bersama. Untuk menggambarkan dengan contoh, berikut adalah pengembangan siri geometri yang ditunjukkan dalam soalan:

∞ Σ n = 0 x n = x 0 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 +

.

+ x

Soalan susulan: apakah pendapat anda tentang nilai siri ini jika nilai x lebih besar daripada (positif) 1 "nota disembunyikan"> Nota:

Tujuan soalan ini adalah untuk membiasakan pelajar dengan konsep siri matematik, dan notasi yang digunakan untuk menerangkan siri.

Soalan 3

Fungsi matematik yang biasa dikenali sebagai factorial diwakili oleh titik seru berikut nombor integer positif. Berikut adalah semua contoh faktorial:

1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720

Jelaskan dalam kata-kata anda sendiri apa fungsi "faktorial" ini mewakili. Apakah prosedur (algoritma) yang akan kita gunakan untuk mengira aritmetik nilai faktorial yang diberikan kepada kita?

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Saya akan membiarkan anda penyelidikan ini sendiri! Algoritma tidak sukar untuk difikirkan hanya dengan mengkaji urutan faktorial yang diberikan dalam soalan.

Soalan susulan: hitung 0!

Nota:

Di samping menjadi sangat berguna dalam pengiraan kebarangkalian, faktorials sering dilihat dalam siri matematik penting, termasuk yang digunakan untuk mengira e, dosa, dan kos.

Soalan 4

Selalunya Euler, bahawa pemalar di mana-mana dalam matematik yang dilambangkan oleh huruf e, boleh didapati sebagai hasil daripada siri matematik berikut:

e = ∞ Σ n = 0 1


n!

Anggarkan nilai e dalam langkah-langkah, menggunakan jadual berikut:

nn!1 / n!≈ e
0
1
2
3
4
5
6
7

Juga, nyatakan siri ini sebagai jumlah separa sehingga n = 7.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

nn!1 / n!≈ e
0111
1112
220.52.5
360.166672.66667
4240.041672.70833
51200.008332.71667
67200.001392.71806
750400.000202.71825

Ditunjukkan di sini ialah jumlah separa sehingga n = 7:

1


0!

+ 1


1!

+ 1


2!

+ 1


3!

+ 1


4!

+ 1


5!

+ 1


6!

+ 1


7!

. . . dan sekali lagi, dalam bentuk yang sedikit berbeza. . .

1 + 1 + 1


2

+ 1


6

+ 1


24

+ 1


120

+ 1


720

+ 1


5040

Nota:

Ia seharusnya tidak mengatakan bahawa pelajar harus merujuk kepada kalkulator elektronik mereka (atau buku teks) untuk melihat apa nilai sebenar e, dan membandingkannya dengan penghampiran jumlah separa mereka.

Soalan-soalan ini memberi peluang kepada pelajar untuk melihat di mana e datang, dan juga untuk meneroka tingkah laku siri dengan mengira jumlah separa. Ramai pelajar merasa sangat menarik untuk melihat urutan jumlah separa berkumpul pada nilai sebenar e, melihat bagaimana ini pemalar misteri yang dahulu sebenarnya boleh dikira menggunakan apa-apa lebih daripada aritmetik berulang.

Soalan 5

Fungsi trigonometri kosinus boleh didapati sebagai hasil daripada siri tak terhingga. Perhatikan bahawa siri ini mengandaikan sudut x untuk dinyatakan dalam unit radian, bukan darjah:

cosx = ∞ Σ n = 0 (-1) n x 2n


(2n)!

Anggarkan kosinus 1 radian (cos1) dalam langkah-langkah, dengan menggunakan jadual berikut, tuliskan pengembangan jumlah separa sehingga n = 5:

n(-1) nx 2n(2n)!≈ cosx
0
1
2
3
4
5

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

n(-1) nx 2n(2n)!≈ cosx
01111
1-1120.5
211240.5416667
3-117200.5402778
411403200.5403026
5-1136288000.5403023

Ditunjukkan di sini adalah pengembangan jumlah separa sehingga n = 5:

cosx ≈ 1 - x 2


2!

+ x 4


4!

- x 6


6!

+ x 8


8!

- x 10


10!

Nota:

Ia harus pergi tanpa mengatakan bahawa pelajar harus merujuk kepada kalkulator elektronik mereka untuk melihat apa sebenarnya nilai cos1, dan membandingkannya dengan pengiraan jumlah separa mereka. Pelajar juga berasa bebas untuk meneroka kesahihan siri ini dengan menghitung kosina sudut selain 1 radian.

Soalan-soalan ini memberi peluang kepada pelajar untuk melihat bagaimana cosx boleh dikira secara aritmetik. Ini, sebenarnya, adalah berapa banyak komputer elektronik digital menentukan fungsi trigonometri: daripada anggaran jumlah separa.

Soalan 6

Fungsi trigonometri sinus boleh didapati sebagai hasil siri tak terhingga. Perhatikan bahawa siri ini mengandaikan sudut x untuk dinyatakan dalam unit radian, bukan darjah:

sinx = ∞ Σ n = 0 (-1) n x 2n + 1


(2n + 1)!

Anggarkan sinus 1 radian (sin1) dalam langkah-langkah, dengan menggunakan jadual berikut, tuliskan pengembangan jumlah separa sehingga n = 5:

n(-1) nx 2n + 1(2n + 1)!≈ sinx
0
1
2
3
4
5

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

n(-1) nx 2n + 1(2n + 1)!≈ sinx
01111
1-1160.8333333
2111200.8416667
3-1150400.8414683
4113628800.8414710
5-11399168000.8414710

Ditunjukkan di sini adalah pengembangan jumlah separa sehingga n = 5:

sinx ≈ x - x 3


3!

+ x 5


5!

- x 7


7!

+ x 9


9!

- x 11


11!

Soalan cabaran: yang mana siri (sinus atau kosinus) bolehkah komputer dapat mengira paling cepat, memandangkan sebilangan digit (ketepatan) melepasi titik perpuluhan? Dalam erti kata lain, yang mana dua siri tak terhingga ini menumpu dengan terpantas ?

Ditunjukkan di sini adalah pengembangan jumlah sebahagian daripada fungsi kosinus, untuk perbandingan:

cosx ≈ 1 - x 2


2!

+ x 4


4!

- x 6


6!

+ x 8


8!

- x 10


10!

Nota:

Ia harus pergi tanpa mengatakan bahawa pelajar harus merujuk kepada kalkulator elektronik mereka untuk melihat apa nilai sebenar sin1, dan membandingkannya dengan penghampiran jumlah separa mereka. Pelajar juga harus merasa bebas untuk meneroka kesahihan siri ini dengan menghitung sinus dari sudut selain 1 radian.

Soalan-soalan ini memberi peluang kepada pelajar untuk melihat bagaimana sinx boleh dihitung dengan arithmetically. Ini, sebenarnya, adalah berapa banyak komputer elektronik digital menentukan fungsi trigonometri: daripada anggaran jumlah separa.

Soalan 7

Bandingkan ketiga-tiga siri matematik ini, satu untuk e x, satu untuk cosx, dan satu untuk sinx:

e x = 1 + x + x 2


2!

+ x 3


3!

+ x 4


4!

+ x 5


5!

+ x 6


6!

+ x 7


7!

+

.

cosx = 1 - x 2


2!

+ x 4


4!

- x 6


6!

+

.

sinx = x - x 3


3!

+ x 5


5!

- x 7


7!

+

.

Perhatikan persamaan dalam segi tiga siri ini. Selain daripada tanda-tanda, ia akan muncul dalam siri kosina mengandungi semua terma kuasa e- x dan sine sine mengandungi semua istilah x -berkuasa yang ganjil. Leonhard Euler, ahli matematik Switzerland yang hidup dari tahun 1707 hingga 1783, mendapati hubungan antara tiga siri ini yang dikenali sebagai hubungan Euler .

Anda juga boleh mencari sambungan yang sama jika anda menggantikan jx untuk x dalam siri pertama (e x ), dan kemudian darab semua terma dalam sine sine oleh j. Tinggalkan seri kosinus yang tidak berubah. Ingat bahawa j = √ {-1} dan j = = -1, j 3 = -j, j 4 = 1, j 5 = j, dsb.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Pertama, saya akan melakukan penggantian dan pendaraban untuk anda:

e jx = 1 + jx + (jx) 2


2!

+ (jx) 3


3!

+ (jx) 4


4!

+ (jx) 5


5!

+ (jx) 6


6!

+ (jx) 7


7!

+

.

cosx = 1 - x 2


2!

+ x 4


4!

- x 6


6!

+

.

j sinx = jx - j x 3


3!

+ j x 5


5!

- j x 7


7!

+

.

Jika anda mengira dengan betul semua kuasa j, anda akan dapati hubungan ini antara tiga siri ini:

e jx = cosx + j sinx

Nota:

Bagi pelajar yang memerlukan sedikit bantuan, inilah siri e jx sebelum dan selepas pemudahan:

e jx = 1 + jx + (jx) 2


2!

+ (jx) 3


3!

+ (jx) 4


4!

+ (jx) 5


5!

+ (jx) 6


6!

+ (jx) 7


7!

+

.

e jx = 1 + jx - x 2


2!

- j x 3


3!

+ x 4


4!

+ j x 5


5!

- x 6


6!

- j x 7


7!

+

.

Sekarang, komposisi siri e jx sebagai jumlah siri cosx dan siri sinx harus lebih jelas.

Soalan 8

Identiti matematik yang menarik yang ditemui oleh Leonhard Euler (1707-1783), yang dianggap oleh persamaan paling indah dalam semua matematik, mengaitkan lima matematik 'pemalar asas bersama:

e i π + 1 = 0

Gunakan hubungan Euler untuk menterjemahkan identiti ini ke dalam istilah trigonometri, di mana kebenaran identiti ini akan menjadi lebih jelas.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

cosπ + j sinπ + 1 = 0

Nota:

Keindahan identiti ini tidak boleh dinafikan, yang berkaitan dengan lima pemalar asas matematik (e, i, π, 1, dan 0) bersama dalam satu persamaan mudah.

Nota: di sini saya memecah konvensyen gaya dengan menggunakan matematik yang lebih tradisional saya dan bukannya secara tradisional elektrik untuk mewakili √ {-1}. Bagi mereka yang tidak dapat berdiri untuk melihat saya mewakili apa-apa selain daripada arus seketika, di sini anda pergi:

e j π + 1 = 0

Adakah anda gembira sekarang?

Soalan 9

Jika anda telah mempelajari nombor kompleks, anda tahu bahawa kuantiti kompleks yang sama boleh ditulis dalam dua bentuk yang berbeza: segiempat dan polar . Ambil contoh kuantiti kompleks ((√3) / 2) + j 1/2. Ilustrasi berikut menunjukkan titik ini terletak pada satah kompleks, bersama dengan dimensi segi empat sama:

Seterusnya, kita melihat titik yang sama, pada satah kompleks yang sama, bersama dengan koordinat kutubnya:

Ditulis, kami mungkin menyatakan kesetaraan dua notasi seperti berikut:

√3


2

+ j 1


2

= 1 ∠ π


6

Diungkapkan dalam bentuk yang lebih umum, kesamaan antara notasi segi empat dan polar akan kelihatan seperti ini:

a + jb = c ∠Θ

Walau bagaimanapun, masalah dengan simbol "sudut" (∠) ialah kita tidak mempunyai cara tersendiri untuk menanganinya secara matematik. Kita perlu mencipta peraturan khas untuk menerangkan cara menambah, menolak, membiak, membahagikan, membezakan, mengintegrasikan, atau memanipulasi jumlah kompleks yang dinyatakan menggunakan simbol ini. Alternatif yang lebih menguntungkan untuk menggunakan simbol "sudut" ditunjukkan di sini:

a + jb = ce

Terangkan mengapa kesetaraan ini adalah bunyi matematik.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Kesamaan yang ditunjukkan adalah berdasarkan hubungan Euler, yang ditinggalkan untuk anda sebagai latihan untuk membuktikan.

Nota:

Soalan ini sepatutnya didahului oleh # 04058, yang meminta para pelajar untuk meneroka hubungan antara siri tak terhingga untuk e x, cosx, dan sinx. Walau apa pun, pelajar anda perlu mengetahui hubungan Euler:

e jx = cosx + j sinx

Soalan 10

Jurutera elektrik biasanya menyatakan kekerapan litar AC dari segi halaju sudut, diukur dalam unit radian sesaat daripada kitaran sesaat (Hertz, atau Hz).

Pertama, jelaskan apa radian . Seterusnya, tulis persamaan yang berkaitan frekuensi (f) dalam Hertz kepada halaju sudut (ω) dalam radians sesaat. Petunjuk: hubungan antara keduanya mungkin paling mudah difahami dari segi penjana AC dua tiang, atau alternator, di mana setiap revolusi rotor menghasilkan satu kitaran penuh AC.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

A radian ialah sudut yang menggambarkan satu sektor bulatan, yang panjang arka sama dengan jejari bulatan:

Seterusnya, kesamaan antara halaju sudut (ω) dan kekerapan (f):

ω = 2 πf

Nota:

Secara peribadi, saya dapati model alternator berputar cara terbaik untuk memahami hubungan antara halaju sudut dan kekerapan. Jika setiap putaran rotor adalah satu kitaran (2 π radian), dan frekuensi adalah kitaran sesaat, maka satu revolusi sesaat ialah 1 Hertz, yang akan menjadi 2 π radian per saat.

Soalan 11

Katakan kita mempunyai penjana AC dua-tiang mudah, atau alternator, dua pemegun stator di kedua-dua belah rotor yang disambung bersama untuk berfungsi sebagai penggulungan tunggal:

Sebaik-baiknya, mesin ini akan menghasilkan voltan keluaran sinusoidal apabila pemutar berpaling. Katakan sekarang bahawa kita menulis tanda indeks pada batang pemutar untuk mengukur kedudukannya, dan kita mewakili kedudukan itu dengan huruf Yunani "Theta" (Θ). Ia semata-mata sewenang-wenangnya di mana kita nyatakan kedudukan "sifar" pada aci, jadi kita memilih untuk menandakan titik itu pada beberapa titik yang mudah dikenalpasti pada bentuk gelombang keluaran: tempat di mana voltan keluaran gegelung meningkat positif sementara berputar mengikut arah jam. Apabila berputar, voltan keluaran segera akan memadankan fungsi cosine . Dengan kata lain, voltan keluaran seketika akan berkadar dengan kosinus sudut aci:

Kita boleh mewakili voltan gegelung dengan persamaan v coil = V 0 cosΘ. Sekiranya kita mengetahui nilai voltan puncak (V 0 ) dan kedudukan aci (Θ), kita boleh meramalkan voltan gegelung tepat pada masanya dalam masa ( gegelung v).

Walau bagaimanapun, terdapat cara yang lebih lengkap untuk menerangkan apa yang berlaku dalam pengganti ini. Persamaan v coil = V 0 cosΘ adalah mencukupi untuk meramalkan voltan gegelung dari kedudukan aci, tetapi ia tidak mencukupi untuk melakukan sebaliknya: meramalkan kedudukan aci dari voltan gegelung. Ambil perhatian bahawa terdapat hanya dua mata pada bentuk gelombang voltan di mana nilai voltan sepadan dengan kedudukan aci yang unik, dan titik tersebut adalah puncak positif dan negatif. Pada sebarang nilai voltan seketika (-V 0

<v coil <V 0), terdapat banyak kedudukan aci yang mungkin. Contoh yang paling jelas ini adalah di mana v coil = 0. Di sini, kedudukan aci boleh menjadi ((π) / 2) radian, atau boleh (3 π) / 2) radian. Perhatikan bahawa kita menganggap puncak positif berlaku hanya pada satu kedudukan (0 radians) dan bukan dua kedudukan (0 dan 2 rad radians) dalam satu revolusi kerana 2 π radian adalah sama dengan 0 radians sama seperti 360 darjah bersamaan dengan 0 darjah.

Untuk secara unik menggambarkan kedudukan aci alternator dari segi voltan keluaran, kita memerlukan lebih banyak maklumat daripada hanya voltan seketika pada satu gegelung. Apa yang kita perlukan ialah gegelung lain, gegelung khayalan, beralih kedudukan sudut dari gegelung pertama:


Seperti gegelung pertama (gegelung sebenar ), voltan output gegelung khayalan juga akan sinusoidal. Walau bagaimanapun, ia akan menjana voltan keluaran pada fasa yang berbeza daripada voltan keluaran gegelung sebenar.

Plot bentuk gelombang gegelung gegelung imaginasi, disimpulkan pada bentuk gelombang voltan output gegelung sebenar, kemudian tulis persamaan yang menyatakan voltan seketika sebagai jumlah yang rumit: voltan gegelung sebenar sebagai nombor sebenar dan voltan gegelung khayalan sebagai khayalan nombor (lengkap dengan j awalan). Kemudian, gunakan hubungan Euler untuk menulis semula jumlah kompleks ini sebagai ungkapan eksponen yang rumit.


Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Output alternatif sebagai jumlah yang kompleks:

V keluar = V 0 cosΘ + j V 0 sinΘ

Output alternatif sebagai eksponen kompleks:

V keluar = V 0 e j Θ

Nota:

Di sini, saya berusaha sebaik-baiknya untuk memberikan makna yang ringkas dan dunia nyata kepada notasi phasor. Menariknya, label "khayalan" yang sering tertelan sebenarnya berfungsi dengan kelebihan saya, menggambarkan output gegelung yang tidak mempunyai tujuan yang berguna tetapi untuk menentukan kedudukan aci alternator dari segi voltan kuadratur.

Soalan 12


∫f (x) dx Kalkulus isyarat!


Impedans ditakrifkan sebagai nisbah kompleks voltan dan arus:

Z = V


Saya

Kita boleh menentukan takrif kompleks impedans yang disediakan oleh induktor jika kita mempertimbangkan persamaan yang berkaitan voltan induktor dan arus induktor:

v = L d


dt

(i (t))

Pertama, tukar ungkapan fasor semasa ke dalam persamaan di atas, kemudian membezakan berkenaan dengan masa untuk mendapatkan ungkapan untuk voltan:

i (t) = e j ωt

v = L d


dt

(e j ωt )

Kemudian, bahagikan dua ungkapan phasor untuk mendapatkan ungkapan untuk impedans induktif.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Z L = j ωL

Soalan susulan: terangkan mengapa ungkapan berikut untuk impedans induktif bersamaan dengan yang ditunjukkan di atas:

Z L = ωL e j π / 2

Nota:

Untuk menyelesaikan masalah ini, pelajar anda mesti ingat kaedah asas untuk membezakan fungsi eksponen:

d


dx

(e ax ) = ae ax

Ini adalah salah satu keindahan yang mewakili voltan sinusoidal dan arus dalam bentuk eksponen kompleks (phasor): ia menjadikan pembezaan dan integrasi agak mudah! Dalam pengertian ini, hubungan Euler dari e jx = cosx + j sinx adalah fungsi transformasi, mengubah satu jenis masalah matematik menjadi jenis yang lebih mudah (mudah).

Soalan 13


∫f (x) dx Kalkulus isyarat!


Impedans ditakrifkan sebagai nisbah kompleks voltan dan arus:

Z = V


Saya

Kita boleh menentukan definisi rumit impedans yang disediakan oleh kapasitor jika kita mempertimbangkan persamaan yang berkaitan voltan kapasitor dan kapasitor semasa:

i = C d


dt

(v (t))

Pertama, gantilah ungkapan fasor voltan ke dalam persamaan di atas, kemudian membezakan berkenaan dengan masa untuk mendapatkan ungkapan untuk arus:

v (t) = e j ωt

i = C d


dt

(e j ωt )

Kemudian, bahagikan dua ungkapan phasor untuk mendapatkan ungkapan untuk impedans kapasitif.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Z C = 1


j ωC

atau Z C = -j 1


ωC

Soalan susulan: jelaskan mengapa ungkapan berikut untuk impedans kapasitif bersamaan dengan yang ditunjukkan di atas:

Z C = 1


ωC

e j (-π / 2)

Nota:

Untuk menyelesaikan masalah ini, pelajar anda mesti ingat kaedah asas untuk membezakan fungsi eksponen:

d


dx

(e ax ) = ae ax

Ini adalah salah satu keindahan yang mewakili voltan sinusoidal dan arus dalam bentuk eksponen kompleks (phasor): ia menjadikan pembezaan dan integrasi agak mudah! Dalam pengertian ini, hubungan Euler dari e jx = cosx + j sinx adalah fungsi transformasi, mengubah satu jenis masalah matematik menjadi jenis yang lebih mudah (mudah).

  • ← Lembaran Kerja Sebelumnya

  • Indeks Lembaran Kerja

  • Lembaran kerja seterusnya →