Pengiraan Kuasa Steady-State Sinusoidal

Lord Blackwood and the Land of the Unclean (SCP-093 and SCP-1867 SCP Tale) (Julai 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Pengiraan Kuasa Steady-State Sinusoidal


Kuasa Seketika

Kami memulakan penjelajahan kuasa sinusoidal kami dengan litar genarik dalam Rajah 1.1. Di sini, v dan i adalah sinusoidal keadaan mantap. Dengan menggunakan konvensyen tanda pasif (PSC), kuasa pada setiap masa diberikan oleh:

$$ p = vi $$ (1.1)

Rajah 1.1 Perwakilan litar yang digunakan untuk mengira kuasa.

Persamaan 1.1 menerangkan kuasa seketika . Ingatlah bahawa jika arahan rujukan arus berada di arah kenaikan voltan, Pers. 1.1 mesti ditulis dengan tanda tolak. Kuasa seketika sentiasa diukur dalam watt apabila voltan diukur dalam volt dan arus diukur dalam amperes. Dua ungkapan sudut fasa v dan i ditulis sebagai

$$ v = V_ {m} \ cos (\ omega t + \ theta _ {v}), $$ (1.2)

$$ i = I_ {m} \ cos (\ omega t + \ theta _ {i}), $$ (1.3)

Dalam kedua ungkapan ini, $$ theta _ {v} $$ ialah sudut fasa voltan, dan $$ \ theta _ {i} $$ ialah sudut fasa semasa.

Semasa bekerja dalam keadaan mantap sinusoidal, rujukan mudah untuk masa sifar boleh dipilih. Jurutera yang merancang sistem yang memindahkan sejumlah besar kuasa telah mendapati ia mudah untuk menggunakan masa sifar yang sepadan dengan segera arus yang melalui maksimum positif. Dengan memilih masa rujukan seperti itu, peralihan voltan dan arus oleh $$ \ theta _ {i} $$ diperlukan. Sekarang, Pers. 1.2 dan 1.3 menjadi

$$ v = V_ {m} \ cos (\ omega t + \ theta _ {v} - \ theta _ {i}) $$ (1.4)

$$ i = I_ {m} \ cos (\ omega t) $$ (1.5)

Jika Pers. 1.4 dan 1.5 diganti menjadi Pers. 1.1, ungkapan untuk kuasa seketika sekarang menjadi

$$ p = V_ {m} I_ {m} \ cos (\ omega t + \ theta _ {v} - \ theta _ {i}) \ cos (\ omega t) $$ (1.6)

Persamaan 1.6 boleh digunakan untuk menyelesaikan kuasa purata seperti cara; Walau bagaimanapun, dengan menggunakan beberapa identiti trigonometri mudah persamaan kuasa serta-merta dapat dipermudahkan. Menggunakan identiti produk cosine memberikan

(\ alpha) \ cos (\ beta) = \ frac {1} {2} \ cos (\ alpha - \ beta) + \ frac {1} {2} $$

Membiarkan $$ \ alpha = \ omega t + \ theta _ {v} - \ theta _ {i} $$ dan $$ \ beta = \ omega t $$ menyediakan

$ p = \ frac {V_ {m} I_ {m}} {2} \ cos (\ theta _ {v} - \ theta _ {i}) + \ frac { 2} \ cos (2 \ omega t + \ theta _ {v} - \ theta _ {i}) $$ (1.7)

Terakhir, menggunakan identiti sudut-jumlah cosine

$$ \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) - \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) $$

untuk memperluaskan istilah kedua di sebelah kanan Pers. 1.7, yang memberikan

$ p = \ frac {V_ {mI_ {m}}} {2} \ cos (\ theta _ {v} - \ theta _ {i}) + \ frac {V_ {m} I_ {m}} {2 } \ cos (\ theta _ {v} - \ theta _ {i}) \ cos (2 \ omega t) - \ frac {V_ {m} I_ {m}} { } - \ theta _ {i}) \ sin (2 \ omega t) $$ (1.8)

Hubungan Antara Semasa, Kuasa, dan Voltan

Rajah 1.2 di bawah menunjukkan hubungan antara i , v dan p , dengan mengandaikan bahawa $$ \ theta _ {v} = 60 ^ {\ circ} $$ dan $$ \ theta _ {i} = 0 ^ {\ circ} $ $. Kekerapan kuasa seketika adalah dua kali kekerapan semasa atau voltan. Penggambaran ini juga mengikuti dari dua istilah kedua di sebelah kanan Pers. 1.8. Ini bermakna bahawa kuasa seketika akan melalui dua kitaran lengkap untuk setiap kitaran sama ada semasa atau voltan. Jika anda melihat Rajah 1.2, kuasa serta-merta boleh menjadi negatif bagi sebahagian daripada setiap kitaran, walaupun rangkaian antara terminal adalah pasif. Dalam rangkaian pasif, kuasa negatif ini membayangkan bahawa tenaga yang disimpan dalam induktor atau kapasitor kini diekstrak. Walaupun kuasa seketika berbeza-beza dengan masa di sinusoidal-mantap keadaan litar, ini menyebabkan beberapa getaran dalam beberapa peralatan yang didorong oleh motor. Oleh kerana getaran dalam peralatan ini, pemasangan motor yang berdaya tahan diperlukan untuk mengurangkan sebarang getaran berlebihan.

Rajah 1.2 Kekerapan sudut, arus, dan voltan yang bersamaan dengan frekuensi sudut

Purata dan Kuasa Reaktif

Persamaan 1.8 kini boleh digunakan untuk mencari kuasa purata di terminal litar, serta menubuhkan konsep kuasa reaktif. Memandangkan persamaan mempunyai tiga syarat, ia boleh ditulis semula sebagai

$$ p = P + P \ cos (2 \ omega t) -Q \ sin (2 \ omega t), $$ (1.9)

Di mana

Kuasa purata (sebenar) $$ P = \ frac {V} {1} \ cos (\ theta _ {v} - \ theta _ {i}) $$ (1.10)

Kuasa reaktif $$ Q = \ frac {V} {1} \ sin (\ theta _ {v} - \ theta _ {i}) $$ (1.11)

P dipanggil kuasa purata, dan Q dipanggil kuasa reaktif . Kuasa purata juga dikenali sebagai kuasa sebenar, kerana ia adalah kuasa sebenar dalam litar yang diubah dari elektrik ke tenaga bukan elektrik. Kuasa purata yang dikaitkan dengan isyarat sinusoidal adalah purata kuasa serta-merta selama satu tempoh, atau

$$ P = \ frac {1} {T} \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} pdt, $$ (1.12)

Di mana T ialah tempoh fungsi berbeza-beza sinusoidal. Batasan integral menunjukkan bahawa integrasi boleh dibuat pada bila-bila masa yang sesuai $$ t_ {0} $$ dan integrasi mesti dibatasi betul-betul satu tempoh kemudian. Untuk memahami pemahaman yang lebih baik mengenai semua terma dalam Pers. 1.9 dan hubungan yang mereka hadapi, kita perlu mengkaji kuasa dalam litar yang semata-mata bersifat resistif, semata-mata induktif, dan semacam kapasitif.

Litar Murni Menentang

Sekiranya litar antara terminal adalah rintangan semata-mata, arus dan voltan adalah dalam fasa $$ (\ theta _ {v} = \ theta _ {i}) $$. Oleh itu, Pers. 1.9 boleh dikurangkan kepada

$$ p = P + P \ cos (2 \ omega t) $$ (1.13)

Ini dirujuk sebagai kuasa sebenar serta - merta . Rajah 1.3 adalah grafik kuasa sebenar serta-merta untuk litar rintangan semata-mata, dengan mengambil kira $$ \ omega = 377 \ mathrm {rad / s} $$. Kuasa purata, P, adalah purata p, lebih daripada satu tempoh. Ini dapat dilihat dengan melihat graf di mana P = 1 untuk litar. Dari Rajah 1.3, kuasa sebenar serta-merta tidak boleh menjadi negatif; dengan kata lain, kuasa tidak dapat dialih keluar dari rangkaian rintangan semata-mata. Walaupun kuasa tidak dapat dialihkan, namun ia hilang dalam bentuk tenaga terma.

Rajah 1.3 Kuasa sebenar seketika dan kuasa purata litar rintangan semata-mata

Litar Induktif Purba

Sekarang, jika litar di antara terminal itu adalah induktif murni, arus dan voltannya keluar dari fasa oleh $$ 90 ^ {\ circ}. $$ Arus litar melepaskan voltan oleh $$ 90 ^ {\ circ} $$ $ $ (\ theta _ {i} = \ theta _ {v} -90 ^ {\ circ}). $$ Persamaan kuasa serta-merta boleh dikurangkan kepada

$$ p = -Q \ sin (2 \ omega t) $$ (1.14)

Dalam litar semata-mata induktif ini, kuasa purata adalah sifar. Ini bermakna tiada transformasi tenaga dari elektrik ke tenaga bukan elektrik berlaku. Kuasa di terminal terus ditukar di antara litar dan sumber kuasa yang memacu litar pada kekerapan $$ 2 \ omega $$ Ini bermakna, apabila p adalah positif, tenaga disimpan dalam medan magnet yang berkaitan dengan elemen induktif, dan apabila p adalah negatif, tenaga sedang dikeluarkan dari medan magnet.

Kuasa yang berkaitan dengan litar semulajadi tulen dikenali sebagai kuasa reaktif Q. Kuasa reaktif berasal dari pencirian induktor sebagai unsur reaktif. Untuk membezakan antara kuasa purata dan kuasa reaktif, unit watt (W) untuk kuasa purata dan var (volt-amp reaktif, atau VAR) untuk kuasa reaktif digunakan. Rajah 1.4 menggambarkan kuasa seketika bagi litar semata-mata induktif, dengan mengandaikan $$ \ omega = 377 \ mathrm {rads / s} $$ dan Q = 1 VAR.

Rajah 1.4 Kuasa sebenar seketika, kuasa purata, dan kuasa reaktif untuk litar semata-mata induktif

Litar Capacitive sepenuhnya

Dalam litar muatan kapasitif ini, arus dan voltan adalah $$ 90 ^ {\ circ} $$ daripada fasa antara satu sama lain. Dalam kes ini, arus mengarahkan voltan dengan tepat $$ 90 ^ {\ circ} $$ $$ (\ theta _ {i} = \ theta _ {v} +90 ^ {\ circ}) $$. Ungkapan kuasa seketika ini diberikan oleh

$$ p = -Q \ sin (2 \ omega t) $$ (1.15)

Dalam litar ini, tidak ada transformasi tenaga dari elektrik ke tenaga bukan elektrik kerana kuasa purata adalah sifar. Dalam litar kapasitif semata-mata, kuasa sentiasa dipindahkan antara sumber yang menyampaikan kuasa dan medan elektrik yang berkaitan dengan elemen kapasitif. Rajah 1.5 menggambarkan kuasa seketika untuk litar kapasitif semata-mata, dengan mengandaikan $$ \ omega = 377 \ mathrm {rads / s} $$ dan Q = -1 VAR.

Rajah 1.5 Kuasa sebenar dan kuasa purata sejurus untuk litar semulajadi

Memahami Faktor Kuasa

$ $$ (\ theta_ {v} - \ theta _ {i}) $$ mempunyai peranan penting dalam mengira kedua-dua purata dan kuasa reaktif dan dikenali sebagai sudut faktor kuasa . Mengambil kosine sudut ini memberikan apa yang dikenali sebagai faktor kuasa, dipendekkan kepada pf, dan mengambil sinus sudut ini dikenali sebagai faktor reaktif, dipendekkan kepada rf. Ini boleh dilambangkan sebagai:

$$ \ mathrm {pf} = \ cos (\ theta _ {v} - \ theta _ {i}) $$ (1.16)

$$ \ mathrm {rf} = \ sin (\ theta _ {v} - \ theta _ {i}) $$ (1.17)

Untuk sepenuhnya menggambarkan sudut faktor kuasa, sama ada faktor kuasa ketinggalan atau istilah faktor kuasa yang utama digunakan. Sekiranya faktor kuasa kurang, maka voltan sesondol semasa (iaitu beban induktif hadir). Sebaliknya, jika faktor kuasa memimpin, arus voltan semasa (iaitu beban kapasitif hadir).

Mengira Konsep Kuasa AC

Beban yang terdiri daripada perintang 480 $$ \ Omega $$ sejajar dengan $$ \ frac {5} {9} \ mu F $$ kapasitor disambungkan ke seluruh terminal sumber voltan sinusoidal yang berlainan $$ v_ {g} $ $, di mana $$ v_ {g} = 240 \ cos (5000t) \ mathrm {V} $$

A) Apakah nilai puncak kuasa serta-merta yang disampaikan oleh sumber kuasa "text-align: center;">