Trigonometri untuk Litar AC

Calculus III: Three Dimensional Vectors (Level 3 of 3) | Examples III (Jun 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Trigonometri untuk Litar AC

Matematik Elektronik


soalan 1

Kenal pasti fungsi trigonometri (sinus, kosinus, atau tangen) yang diwakili oleh setiap nisbah berikut, dengan merujuk kepada sudut yang dilabel dengan huruf Greek "Theta" (Θ):

X


R

=

X


Z

=

R


Z

=

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

X


R

= tanΘ = Sebaliknya


Bersebelahan

X


Z

= sinΘ = Sebaliknya


Hypotenuse

R


Z

= cosΘ = Bersebelahan


Hypotenuse

Nota:

Tanyakan kepada pelajar anda untuk menerangkan apa perkataan "hypotenuse", "bertentangan", dan "bersebelahan" merujuk kepada segi tiga tepat.

Soalan 2

Kenal pasti fungsi trigonometri (sinus, kosinus, atau tangen) yang diwakili oleh setiap nisbah berikut, dengan merujuk kepada sudut yang dilabel dengan huruf Greek "Phi" (φ):

R


X

=

X


Z

=

R


Z

=

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R


X

= tanφ = Sebaliknya


Bersebelahan

X


Z

= cosφ = Bersebelahan


Hypotenuse

R


Z

= sinφ = Sebaliknya


Hypotenuse

Nota:

Tanyakan kepada pelajar anda untuk menerangkan apa perkataan "hypotenuse", "bertentangan", dan "bersebelahan" merujuk kepada segi tiga tepat.

Soalan 3

Segitiga impedans sering digunakan untuk menghubungkan graf Z, R, dan X dalam litar siri:

Malangnya, ramai pelajar tidak memahami kepentingan segitiga ini, tetapi menghafalnya sebagai "helah" yang digunakan untuk mengira salah satu daripada tiga pembolehubah yang diberikan kepada dua yang lain. Terangkan mengapa segitiga yang betul adalah satu bentuk yang sesuai untuk mengaitkan pembolehubah ini, dan apa yang setiap sudut segi tiga mewakili.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Setiap sisi segitiga impedans sebenarnya adalah phasor (vektor yang mewakili impedans dengan magnitud dan arah):

Oleh kerana fasor untuk impedans rintangan (Z R ) mempunyai sudut sifar darjah dan fasor untuk impedans reaktif (Z C atau Z L ) sama ada mempunyai sudut +90 atau -90 darjah, jumlah phasor yang mewakili jumlah galangan siri akan membentuk hipotenus segi tiga yang betul apabila yang pertama kepada phasors ditambah (hujung ke ekor).

Soalan susulan: sebagai semakan, terangkan mengapa phasors impedans resistif sentiasa mempunyai sudut sifar darjah, dan mengapa phasors impedans reaktif sentiasa mempunyai sudut sama ada +90 darjah atau -90 darjah.

Nota:

Persoalannya cukup terbuka bahawa ramai pelajar mungkin tidak menyedari apa yang diminta sehingga mereka membaca jawapannya. Ini baik-baik saja, kerana sukar untuk menjelaskan soalan dengan cara yang lebih spesifik tanpa memberikan jawapannya!

Soalan 4

Terangkan mengapa "segitiga impedans" tidak sesuai digunakan untuk mengaitkan jumlah impedans, rintangan, dan reaktansi dalam litar selari kerana ia adalah untuk litar siri:

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Impedans tidak menambah secara selari.

Soalan susulan: segitiga jenis apa yang boleh digunakan dengan litar AC selari dengan betul, dan mengapa "nota tersembunyi"> Nota:

Cuba untuk menerapkan segitiga ZRX secara langsung kepada litar AC selari adalah kesilapan biasa yang dibuat ramai pelajar baru. Kunci untuk mengetahui kapan dan cara menggunakan segi tiga untuk menggambarkan kuantiti AC secara grafik adalah memahami mengapa segitiga berfungsi sebagai alat analisis dan apa yang mewakili pihaknya.

Soalan 5

Perhatikan litar berikut, kemudian labelkan sisi segitiga masing-masing dengan semua pemboleh ubah yang berkaitan dengan trigonometri dalam litar tersebut:

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Nota:

Soalan ini meminta para pelajar untuk mengenal pasti pembolehubah-pembolehubah dalam setiap litar yang secara vektor ditambah, mendiskriminasi mereka dari pemboleh ubah yang tidak ditambah. Ini amat penting bagi pelajar untuk dapat melakukan jika mereka berjaya menerapkan "segi tiga" kepada penyelesaian masalah litar AC.

Perhatikan bahawa sesetengah segitiga ini perlu terbalik ke atas dan bukan semua sama seperti yang ditunjukkan dalam persoalan, jika kita perlu mewakili phasor menegak (imaginasi) dengan betul untuk impedans kapasitif dan untuk kemasukan induktor. Walau bagaimanapun, perkara di sini adalah semata-mata untuk mendapatkan pelajar mengenali apa yang menambah jumlah dan apa yang tidak. Perhatian kepada arah (atas atau bawah) bahagian bertentangan segitiga boleh datang kemudian.

Soalan 6

Gunakan "segitiga impedans" untuk mengira reaktan yang diperlukan gabungan rintangan siri (R) dan reaktivasi induktif (X) bagi menghasilkan impedans jumlah yang dikehendaki sebanyak 145 Ω:

Jelaskan apa persamaan yang anda gunakan untuk mengira X, dan algebra diperlukan untuk mencapai hasil ini daripada formula yang lebih biasa.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

X = 105 Ω, seperti yang dikira oleh versi algebra yang dimanipulasi Teorem Pythagorean.

Nota:

Pastikan pelajar menunjukkan kepada anda bentuk Teorema Pythagorean, dan bukannya menunjukkan diri mereka sendiri, kerana ia sangat mudah untuk pelajar membuat penyelidikan sendiri.

Soalan 7

Satu siri litar AC mempamerkan impedans sebanyak 10 kΩ, dengan peralihan fasa 65 darjah antara voltan dan arus. Diambil dalam segitiga impedans, ia kelihatan seperti ini:

Kita tahu bahawa fungsi sinus mengaitkan sisi X dan Z bagi segitiga impedans ini dengan sudut 65 darjah, kerana sinus sinus adalah nisbah yang bertentangan dengan hipotenus, dengan X bertentangan dengan sudut 65 darjah. Oleh itu, kita tahu kita boleh menetapkan persamaan berikut yang menghubungkan kuantiti ini bersama-sama:

sin65 o = X


Z

Selesaikan persamaan ini untuk nilai X, dalam ohm.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

X = 9.063 kΩ

Nota:

Minta pelajar anda menunjukkan kepada anda manipulasi algebra (s) mereka dalam menetapkan persamaan untuk penilaian.

Soalan 8

Satu siri litar AC mempamerkan jumlah impedans sebanyak 2.5 kΩ, dengan peralihan fasa 30 darjah antara voltan dan arus. Diambil dalam segitiga impedans, ia kelihatan seperti ini:

Gunakan fungsi trigonometri yang sesuai untuk mengira nilai setara R dan X dalam litar siri ini.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R = 2.165 kΩ

X = 1.25 kΩ

Nota:

Ada beberapa cara yang dapat menyelesaikan R dan X dalam masalah trigonometri ini. Ini akan menjadi satu peluang yang baik untuk mempunyai pelajar anda membentangkan strategi penyelesaian masalah di papan di depan kelas supaya semua orang mendapat peluang untuk melihat beberapa teknik.

Soalan 9

Litar AC selari menarik 8 amps semasa melalui cawangan rintangan semata-mata dan 14 amps semasa melalui cawangan tulen:

Kirakan jumlah semasa dan sudut Θ daripada jumlah semasa, menerangkan kaedah penyelesaian trigonometri anda.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Saya berjumlah = 16.12 amps

Θ = 60.26 o (negatif, jika anda ingin mewakili sudut mengikut sistem koordinat standard untuk phasors).

Soalan susulan: dalam mengira Θ, disyorkan untuk menggunakan fungsi arctangent dan bukannya fungsi arcsine atau arc-cosine. Sebab untuk melakukan ini adalah ketepatan: kurang kemungkinan ralat kompaun, disebabkan oleh kesilapan yang berkaitan dengan pembulatan dan / atau kalkulator (keystroke). Jelaskan mengapa penggunaan fungsi arctangent untuk mengira Θ menimbulkan peluang kurang daripada kesilapan daripada kedua-dua arcfunctions yang lain.

Nota:

Soalan susulan menggambarkan satu prinsip penting dalam pelbagai disiplin: mengelakkan risiko yang tidak perlu dengan memilih teknik pengiraan dengan menggunakan kuantiti tertentu dan bukan kuantiti yang diperoleh. Ini adalah topik yang baik untuk dibincangkan dengan pelajar anda, jadi pastikan anda berbuat demikian.

Soalan 10

Litar RC selari mempunyai 10 μS susceptans (B). Berapa banyak konduktans (G) diperlukan untuk memberikan litar sudut fasa (total) sebanyak 22 darjah "// www.beautycrew.com.au//sub.allaboutcircuits.com/images/quiz/02090x01.png">

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

G = 24.75 μS

Soalan susulan: berapa rintangan ini, dalam ohm?

Nota:

Tanyakan kepada pelajar anda untuk menerangkan kaedah penyelesaian mereka, termasuk sebarang cara untuk menyemak semula ketepatan jawapannya.

Soalan 11

Teorema Pythagorean digunakan untuk mengira panjang hipotenus segi tiga yang betul memandangkan panjang dua sisi yang lain:

Tuliskan bentuk piawai Teorem Pythagorean, dan beri contoh penggunaannya.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Saya akan membiarkan anda menyelidik ini dengan sendiri!

Soalan susulan: mengenal pasti aplikasi dalam analisis litar AC di mana Teorema Pythagoras akan berguna untuk mengira kuantiti litar seperti voltan atau arus.

Nota:

Teorema Pythagorean cukup mudah untuk pelajar mendapati sendiri bahawa anda tidak perlu menunjukkannya. Ilustrasi yang tidak dapat dilupakan mengenai teorem ini adalah panjang sampingan dari segitiga 3-4-5 yang dipanggil. Jangan terkejut jika ini adalah contoh yang banyak pelajar memilih untuk memberi.

Soalan 12

Gunakan "segitiga impedans" untuk mengira impedans gabungan gabungan rintangan (R) dan reaktans induktif (X):

Terangkan apa persamaan (s) yang anda gunakan untuk mengira Z.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Z = 625 Ω, seperti dikira oleh Teorem Pythagorean.

Nota:

Pastikan pelajar menunjukkan kepada anda bentuk Teorema Pythagorean, dan bukannya menunjukkan diri mereka sendiri, kerana ia sangat mudah untuk pelajar membuat penyelidikan sendiri.

Soalan 13

Fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, dan tangen berguna untuk menentukan nisbah panjang sisi segi tiga kanan yang diberi nilai sudut. Walau bagaimanapun, mereka tidak begitu berguna untuk melakukan sebaliknya: mengira sudut yang diberi panjang dari dua sisi.

Katakan kita ingin mengetahui nilai sudut Θ, dan kita mengetahui nilai-nilai Z dan R dalam segitiga impedans ini. Kita boleh menulis persamaan berikut, tetapi dalam bentuk sekarang kita tidak dapat menyelesaikan untuk Θ:

cosΘ = R


Z

Satu-satunya cara kita boleh mengasingkan sudut Θ dalam persamaan ini adalah jika kita mempunyai cara untuk "membatalkan" fungsi kosinus. Sebaik sahaja kita tahu fungsi apa yang akan "membatalkan" kosinus, kita boleh memohon kepada kedua-dua belah persamaan dan mempunyai Θ dengan sendirinya di sebelah kiri.

Terdapat kelas fungsi trigonometri yang dikenali sebagai fungsi songsang atau "arka" yang hanya akan dilakukan: "membatalkan" fungsi trigonometri biasa supaya meninggalkan sudut dengan sendirinya. Terangkan bagaimana kita boleh menggunakan "fungsi arka" kepada persamaan yang ditunjukkan di atas untuk mengasingkan Θ.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

cosΘ = R


Z

Persamaan asal

. . . memohon fungsi ärc-cosine "kepada kedua-dua pihak. . .

arccos (cosΘ) = arccos  R


Z

 

Θ = arccos  R


Z

 

Nota:

Saya suka memperlihatkan tujuan arcfunctions trigonometri dengan cara ini, menggunakan peraturan kardinal manipulasi algebra (melakukan perkara yang sama kepada kedua-dua belah persamaan) yang sudah biasa oleh pelajar sekarang. Ini membantu menghilangkan misteri arcfunctions untuk pelajar baru kepada trigonometri.

Soalan 14

Siri litar AC mengandungi 1125 ohm rintangan dan 1500 ohms reaktansi untuk impedans litar sebanyak 1875 ohm. Ini boleh diwakili secara grafik dalam bentuk segitiga impedans:

Oleh kerana semua segi panjang pada segitiga ini diketahui, tidak perlu memohon Teorema Pythagoras. Walau bagaimanapun, kita masih boleh mengira kedua-dua sudut bukan serenjang dalam segitiga ini menggunakan fungsi "sebalik" trigonometri, yang kadang-kadang dipanggil fungsi arka .

Kenal pasti fungsi arka mana yang harus digunakan untuk mengira sudut Θ yang diberikan pasangan pasang berikut:

R dan Z

X dan R

X dan Z

Tunjukkan bagaimana tiga arcfunctions trigonometri yang berbeza boleh digunakan untuk mengira sudut yang sama Θ.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

arca R


Z

= 53.13 o

arctan X


R

= 53.13 o

arcsin X


Z

= 53.13 o

Soalan cabaran: kenalpasti tiga lagi arcfunctions yang boleh digunakan untuk mengira sudut yang sama Θ.

Nota:

Sesetengah kalkulator tangan mengenal pasti fungsi arc-trig dengan huruf "A" yang mempersembahkan setiap singkatan trigonometri (contohnya "ASIN" atau "ATAN"). Kalkulator tangan lain menggunakan notasi fungsi songsang dari 1 eksponen, yang tidak benar-benar eksponen sama sekali (misalnya sin -1 atau tan -1 ). Pastikan untuk membincangkan notasi fungsi pada kalkulator pelajar anda, jadi mereka tahu apa yang hendak digunakan ketika menyelesaikan masalah seperti ini.

Soalan 15

Pelajar yang belajar teori elektrik AC menjadi biasa dengan segitiga impedans tidak lama lagi dalam kajian mereka:

Apa yang pelajar-pelajar ini tidak biasanya dapat menemui ialah segitiga ini juga berguna untuk mengira kuantiti elektrik selain impedans. Tujuan dari soalan ini ialah untuk mendapatkan beberapa kegunaan lain segitiga.

Secara asasnya, segi tiga kanan ini mewakili penambahan phasor, di mana dua kuantiti elektrik pada sudut tepat antara satu sama lain (resistif berbanding reaktif) ditambah bersama. Dalam siri siri AC, masuk akal untuk menggunakan segitiga impedans untuk mewakili bagaimana rintangan (R) dan reaktansi (X) bergabung untuk membentuk suatu impedans total (Z), kerana rintangan dan reaktansi adalah bentuk khas impedans sendiri, dan kita tahu bahawa impedans menambah siri.

Senaraikan semua kuantiti elektrik yang boleh anda fikirkan menambah (siri atau selari) dan kemudian tunjukkan bagaimana segitiga serupa dapat ditarik untuk menghubungkan jumlah tersebut bersama-sama dalam litar AC.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Kuantiti elektrik yang menambah:

Impedans siri
Voltan siri
Kemasukan selari
Arus selari
Pelesapan kuasa

Saya akan menunjukkan kepada anda satu contoh grafik bagaimana segitiga boleh dikaitkan dengan kuantiti elektrik selain daripada impedans siri:

Nota:

Sangat penting bagi pelajar untuk memahami bahawa segi tiga hanya berfungsi sebagai alat analisis apabila digunakan untuk kuantiti yang menambah . Ramai kali saya telah melihat pelajar cuba memohon segitiga impedans ZRX ke litar selari dan gagal kerana impedans selari tidak menambah . Tujuan soalan ini adalah untuk memaksa para pelajar untuk memikirkan di mana segitiga boleh digunakan untuk analisis litar AC, dan bukan hanya menggunakannya secara membuta tuli.

Segitiga kuasa adalah aplikasi trigonometri yang menarik untuk litar elektrik. Anda mungkin tidak mahu membincangkan kuasa dengan pelajar anda dengan terperinci jika mereka baru mula belajar voltan dan arus dalam litar AC, kerana kuasa adalah subjek yang cukup mengelirukan dengan sendirinya.

Soalan 16

Teorema Pythagorean digunakan untuk mengira panjang hipotenus segi tiga yang betul memandangkan panjang dua sisi yang lain:

Memanipulasi bentuk piawai teorem Pythagoras untuk menghasilkan versi yang menyelesaikan panjang A yang diberikan B dan C, dan juga menulis versi persamaan yang menyelesaikan untuk panjang B diberikan A dan C.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Bentuk standard Teorema Pythagorean:

C =


A 2 + B 2

Penyelesaian untuk A:

A =


C 2 - B 2

Penyelesaian untuk B:

B =


C 2 - A 2

Nota:

Teorema Pythagorean cukup mudah untuk pelajar mendapati sendiri bahawa anda tidak perlu menunjukkannya. Ilustrasi yang tidak dapat dilupakan mengenai teorem ini adalah panjang sampingan dari segitiga 3-4-5 yang dipanggil. Jangan terkejut jika ini adalah contoh yang banyak pelajar memilih untuk memberi.

Soalan 17

Asas bangunan segi empat tepat dengan keluasan 18, 500 kaki persegi berukuran 100 kaki di sepanjang satu sisi. Anda perlu meletakkan di saluran pergerakan diagonal dari satu sudut yayasan ke yang lain. Hitung berapa banyak saluran yang anda perlukan untuk membuat jangka masa:

Juga, tulis persamaan untuk mengira panjang saluran peralihan ini (L) memandangkan kawasan segi empat tepat (A) dan panjang satu sisi (x).

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Conduit run = 210 kaki, 3.6 inci dari sudut ke sudut.

Nota: persamaan berikut bukanlah satu-satunya bentuk yang mungkin untuk mengira panjang pepenjuru. Jangan risau jika persamaan anda tidak kelihatan seperti ini!

L =


x 4 + A 2


x

Nota:

Menentukan panjang saluran yang diperlukan untuk soalan ini melibatkan kedua-dua teorem Pythagoras dan geometri mudah.

Kebanyakan pelajar mungkin akan tiba di bentuk ini untuk persamaan panjang pepenjuru mereka:

L = √


x 2 +  A


x

  2

Walaupun ini betul betul, ia adalah satu latihan yang menarik untuk mempunyai pelajar menukar persamaan dari bentuk (mudah) ini kepada yang diberikan dalam jawapannya. Ini juga merupakan persoalan yang sangat praktikal, kerana persamaan yang diberikan dalam buku rujukan tidak selalu mengikut bentuk yang paling langsung, tetapi sering ditulis dengan cara sedemikian rupa untuk melihat lebih baik secara estetik. Bentuk persamaan ringkas dan langsung yang ditunjukkan di sini (dalam bahagian Nota) kelihatan "hodoh" kerana pecahan di dalam radik.

Soalan 18

Evaluasi panjang sisi x dalam segi tiga kanan ini, memandangkan panjang dua sisi yang lain:

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

x = 10

Nota:

Soalan ini adalah ujian lurus keupayaan pelajar untuk mengenal pasti dan menggunakan nisbah 3-4-5 kepada segitiga yang betul.

Soalan 19

Evaluasi panjang sisi x dalam segi tiga kanan ini, memandangkan panjang dua sisi yang lain:

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

x = 15

Nota:

Soalan ini adalah ujian lurus keupayaan pelajar untuk mengenal pasti dan menggunakan nisbah 3-4-5 kepada segitiga yang betul.

Soalan 20

Gunakan segitiga untuk mengira jumlah voltan sumber untuk litar RC siri ini, memandangkan penurunan voltan merangkumi setiap komponen:

Terangkan apa persamaan (s) yang anda gunakan untuk mengira jumlah V, dan juga mengapa kita mesti menambah geometri voltan ini bersama-sama.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

V total = 3.672 volt, seperti yang dikira oleh Teorema Pythagorean

Nota:

Pastikan pelajar menunjukkan kepada anda bentuk Teorema Pythagorean, dan bukannya menunjukkan diri mereka sendiri, kerana ia sangat mudah untuk pelajar membuat penyelidikan sendiri.

Soalan 21

Gunakan "segitiga impedans" untuk mengira rintangan yang diperlukan dalam kombinasi rintangan rintangan (R) dan reaktiviti induktif (X) untuk menghasilkan impedans jumlah yang dikehendaki sebanyak 5.2 kΩ:

Terangkan apa persamaan yang anda gunakan untuk mengira R, dan algebra diperlukan untuk mencapai hasil ini daripada formula yang lebih biasa.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

R = 4.979 kΩ, yang dikira oleh versi algebra yang dimanipulasi Teorema Pythagorean.

Nota:

Pastikan pelajar menunjukkan kepada anda bentuk Teorema Pythagorean, dan bukannya menunjukkan diri mereka sendiri, kerana ia sangat mudah untuk pelajar membuat penyelidikan sendiri.

Soalan 22

Gunakan "segitiga impedans" untuk mengira reaktan yang diperlukan gabungan rintangan ini (R) dan reaktans kapasitif (X) untuk menghasilkan impedans jumlah yang dikehendaki sebanyak 300 Ω:

Jelaskan apa persamaan yang anda gunakan untuk mengira X, dan algebra diperlukan untuk mencapai hasil ini daripada formula yang lebih biasa.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

X = 214.2 Ω, seperti yang dikira oleh versi algebra yang dimanipulasi Teorem Pythagorean.

Nota:

Pastikan pelajar menunjukkan kepada anda bentuk Teorema Pythagorean, dan bukannya menunjukkan diri mereka sendiri, kerana ia sangat mudah untuk pelajar membuat penyelidikan sendiri.

Soalan 23

Litar AC selari menarik 100 mA semasa melalui cawangan rintangan semata-mata dan 85 mA semasa melalui cawangan muatan kapasitif:

Kirakan jumlah semasa dan sudut Θ daripada jumlah semasa, menerangkan kaedah penyelesaian trigonometri anda.

Mendedahkan jawapan Sembunyikan jawapan

Saya berjumlah = 131.2 mA

Θ = 40.36 o

Soalan susulan: dalam mengira Θ, disyorkan untuk menggunakan fungsi arctangent dan bukannya fungsi arcsine atau arc-cosine. Sebab untuk melakukan ini adalah ketepatan: kurang kemungkinan ralat kompaun, disebabkan oleh kesilapan yang berkaitan dengan pembulatan dan / atau kalkulator (keystroke). Jelaskan mengapa penggunaan fungsi arctangent untuk mengira Θ menimbulkan peluang kurang daripada kesilapan daripada kedua-dua arcfunctions yang lain.

Nota:

Soalan susulan menggambarkan satu prinsip penting dalam pelbagai disiplin: mengelakkan risiko yang tidak perlu dengan memilih teknik pengiraan dengan menggunakan kuantiti tertentu dan bukan kuantiti yang diperoleh. Ini adalah topik yang baik untuk dibincangkan dengan pelajar anda, jadi pastikan anda berbuat demikian.

  • ← Lembaran Kerja Sebelumnya

  • Indeks Lembaran Kerja

  • Lembaran kerja seterusnya →